Giải bài tập Toán 12 Nâng cao, Toán 12 Nâng cao, đầy đủ giải tích và hình học Ôn tập chương II - Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số..

Bài 89 trang 131 SGK giải tích 12 nâng cao


Chứng minh rằng hàm số thỏa mãn hệ thức

Đề bài

Chứng minh rằng hàm số \(y = \ln {1 \over {1 + x}}\) thỏa mãn hệ thức \(xy' + 1 = {e^y}\)

Lời giải chi tiết

Điều kiện: \(x > -1\).

Ta có \(y = \ln 1 - \ln \left( {1 + x} \right)=  - \ln \left( {1 + x} \right) \)

\(\Rightarrow y' =  - \dfrac{{\left( {1 + x} \right)'}}{{1 + x}}=  - {1 \over {1 + x}}\)

Khi đó: \(xy' + 1 = {{ - x} \over {1 + x}} + 1  = \frac{{ - x + 1 + x}}{{1 + x}}= {1 \over {1 + x}}\)

Lại có \({e^y} = {e^{\ln \left( {\frac{1}{{1 + x}}} \right)}} = \frac{1}{{1 + x}}\)

Vậy \(xy' + 1 = {e^y}\)

Chú ý:

Các em có thể tính đạo hàm cách khác nhưng dài hơn như sau:

\(\begin{array}{l}
y = \ln \frac{1}{{1 + x}}\\
y' = \frac{{\left( {\frac{1}{{1 + x}}} \right)'}}{{\frac{1}{{1 + x}}}} = \left( {\frac{1}{{1 + x}}} \right)':\frac{1}{{1 + x}}\\
= - \frac{{\left( {1 + x} \right)'}}{{{{\left( {1 + x} \right)}^2}}}.\left( {1 + x} \right)\\
= - \frac{1}{{{{\left( {1 + x} \right)}^2}}}.\left( {1 + x} \right)\\
= - \frac{1}{{1 + x}}
\end{array}\)

   Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.5 trên 2 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Hãy viết chi tiết giúp Loigiaihay.com

Vui lòng để lại thông tin để ad có thể liên hệ với em nhé!

Vấn đề em gặp phải là gì ?

Hãy viết chi tiết giúp Loigiaihay.com

Cảm ơn bạn đã sử dụng Loigiaihay.com. Đội ngũ giáo viên cần cải thiện điều gì để bạn cho bài viết này 5* vậy?

Vui lòng để lại thông tin để ad có thể liên hệ với em nhé!

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store