Bài 89 trang 131 SGK giải tích 12 nâng cao

Chứng minh rằng hàm số thỏa mãn hệ thức

Đề bài

Chứng minh rằng hàm số $y = \ln {1 \over {1 + x}}$ thỏa mãn hệ thức $xy' + 1 = {e^y}$

Lời giải chi tiết

Điều kiện: $x > -1$ .

Ta có $y = \ln 1 - \ln \left( {1 + x} \right)= - \ln \left( {1 + x} \right)$

$\Rightarrow y' = - \dfrac{{\left( {1 + x} \right)'}}{{1 + x}}= - {1 \over {1 + x}}$

Khi đó: $xy' + 1 = {{ - x} \over {1 + x}} + 1 = \frac{{ - x + 1 + x}}{{1 + x}}= {1 \over {1 + x}}$

Lại có ${e^y} = {e^{\ln \left( {\frac{1}{{1 + x}}} \right)}} = \frac{1}{{1 + x}}$

Vậy $xy' + 1 = {e^y}$

Chú ý:

Các em có thể tính đạo hàm cách khác nhưng dài hơn như sau:

$\begin{array}{l} y = \ln \frac{1}{{1 + x}}\\ y' = \frac{{\left( {\frac{1}{{1 + x}}} \right)'}}{{\frac{1}{{1 + x}}}} = \left( {\frac{1}{{1 + x}}} \right)':\frac{1}{{1 + x}}\\ = - \frac{{\left( {1 + x} \right)'}}{{{{\left( {1 + x} \right)}^2}}}.\left( {1 + x} \right)\\ = - \frac{1}{{{{\left( {1 + x} \right)}^2}}}.\left( {1 + x} \right)\\ = - \frac{1}{{1 + x}} \end{array}$

Loigiaihay.com

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

3.5 trên 2 phiếu

Bài tiếp theo

Bài 90 trang 131 SGK giải tích 12 nâng cao
Giả sử đồ thị (G) của hàm số cắt trục tung tại điểm A và tiếp tuyến của (G) tại A cắt trục hoành tại điểm B. Tính giá trị gần đúng của diện tích của tam giác OAB (chính xác đến hàng phần nghìn).
Bài 91 trang 131 SGK giải tích 12 nâng cao
Kí hiệu M là một điểm thuộc đồ thị của hàm số . Trong hai khẳng định a > 1 và , khẳng định nài đúng trong mỗi trường hợp sau? Vì sao?
Bài 92 trang 131 SGK giải tích 12 nâng cao
Các loài cây xanh trong quá trình quang hợp sẽ nhận được một lượng cacbon 14 (một đồng vị của cacbon). Khi một bộ phận của một cái cây nào đó bị chết thì hiện tượng quang hợp cũng ngưng và nó sẽ không nhận thêm cacbon 14 nữa. Lượng cacbon 14 của bộ phận đó sẽ phân hủy một cách chậm chạp, chuyển hóa thành nito 14. Biết rằng nếu gọi P(t) là số phần trăm cacbon 14 còn lại trong một bộ phận của một cái cây sinh trưởng từ t năm trước đây thì P(t) được tính theo công thức:
Bài 93 trang 131 SGK giải tích 12 nâng cao
Giải phương trình:
Bài 94 trang 131 SGK giải tích 12 nâng cao
Giải các phương trình
Bài 95 trang 132 SGK giải tích 12 nâng cao
Giải phương trình:
Bài 96 trang 132 SGK giải tích 12 nâng cao
Giải các hệ phương trình:
Bài 97 trang 132 SGK giải tích 12 nâng cao
Giải các bát phương trình sau:
Bài 88 trang 130 SGK giải tích 12 nâng cao
Gọi c là cạnh huyền, a và b là hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông. Chứng minh rằng:
Bài 87 trang 130 SGK giải tích 12 nâng cao
Chứng minh rằng
Bài 86 trang 130 SGK giải tích 12 nâng cao
Tính:
Bài 85 trang 130 SGK giải tích 12 nâng cao
Cho x < 0. Chứng minh rằng:
Bài 84 trang 130 SGK giải tích 12 nâng cao
So sánh p và q, biết:

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.