Bài 47 Trang 176 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Bình chọn:
3.3 trên 3 phiếu

Cho hàm số f liên tục trên Tỉ số : được gọi là giá trị trung bình của hàm số f trên và được kí hiệu là . Chứng minh rằng tồn tại điểm sao cho

Bài 47. Cho hàm số f liên tục trên \(\left[ {a;b} \right].\) Tỉ số : \({1 \over {b - a}}\int\limits_a^b {f\left( x \right)} dx\) được gọi là giá trị trung bình của hàm số f trên \(\left[ {a;b} \right]\) và được kí hiệu là \(m\left( f \right)\). Chứng minh rằng tồn tại điểm \(c \in \left[ {a;b} \right]\) sao cho \(m\left( f \right) = f\left( c \right)\)

Giải

Giả sử m và M tương ứng là giá trị bé nhất và lớn nhất của hàm số f trên \(\left[ {a;b} \right]\).
Ta có \(m \le f\left( x \right) \le M\,\,\forall x \in \left[ {a;b} \right]\)
Theo kết quả

\(f(x)>g(x)\) trên đoạn \([a;b]\) thì \(\int\limits_a^b {f(x)} dx > \int\limits_a^b {g(x)dx} \)

Ta có:

\(\eqalign{
& \int\limits_a^b {mdx \le \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} } \le \int\limits_a^b {Mdx} \Rightarrow m\left( {b - a} \right) \le \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx \le M\left( {b - a} \right)} \cr
& \Rightarrow m \le {1 \over {b - a}}\int\limits_a^b {f\left( x \right)} dx \le M \cr} \)

Vì \(f\) là hàm liên tục nên tồn tại \(c \in \left[ {a;b} \right]\) để \(f\left( c \right) = {1 \over {b - a}}\int\limits_a^b {f\left( x \right)} dx.\)

loigiaihay.com

>>Học trực tuyến luyện thi THPTQG, Đại học 2019, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu

Các bài liên quan