Bài 41 Trang 175 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao


Tìm nguyên hàm của các hàm số sau

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

LG a

\(y = 2x\left( {1 - {x^{ - 3}}} \right);\)

Lời giải chi tiết:

\(\int {2x\left( {1 - {x^{ - 3}}} \right)} dx = \int {\left( {2x - 2{x^{ - 2}}} \right)dx }\) \(= \dfrac{{2x}}{2} - \dfrac{{2.{x^{ - 1}}}}{{ - 1}} + C = x + 2.{x^{ - 1}} + C\) \(= {x^2} + {2 \over x} + C \)

LG b

 \(y = 8x - {2 \over {{x^{{1 \over 4}}}}};\)

Lời giải chi tiết:

\(\int {\left( {8x - {2 \over {{x^{{1 \over 4}}}}}} \right)dx = } \int {\left( {8x - 2{x^{ - {1 \over 4}}}} \right)} dx\) \( = \dfrac{{8{x^2}}}{2} - \dfrac{{2.{x^{\frac{3}{4}}}}}{{\frac{3}{4}}} + C\) \( = 4{x^2} - {8 \over 3}{x^{{3 \over 4}}} + C\)

LG c

\(y = {x^{{1 \over 2}}}\sin \left( {{x^{{3 \over 2}}} + 1} \right);\)

Phương pháp giải:

Đổi biến \(u = {x^{{3 \over 2}}} + 1\)

Lời giải chi tiết:

Đặt 

\(u = {x^{{3 \over 2}}} + 1 \Rightarrow du = {3 \over 2}{x^{{1 \over 2}}}dx\) \(\Rightarrow {x^{{1 \over 2}}}dx = {2 \over 3}du  \)

\(\int {{x^{\frac{1}{2}}}\sin \left( {{x^{\frac{3}{2}}} + 1} \right)dx} \)\( = \frac{2}{3}\int {\sin udu} \)  \( =  - \frac{2}{3}\cos u + C\) \( =  - \frac{2}{3}\cos \left( {{x^{\frac{3}{2}}} + 1} \right) + C\)

Cách 2: Đưa vào vi phân

\(\int {{x^{\frac{1}{2}}}\sin \left( {{x^{\frac{3}{2}}} + 1} \right)dx} \)\( = \int {\frac{2}{3}\sin \left( {{x^{\frac{3}{2}}} + 1} \right)\left( {{x^{\frac{3}{2}}} + 1} \right)'dx} \) \( = \frac{2}{3}\int {\sin \left( {{x^{\frac{3}{2}}} + 1} \right)d\left( {{x^{\frac{3}{2}}} + 1} \right)} \) \( = \frac{2}{3}.\left[ { - \cos \left( {{x^{\frac{3}{2}}} + 1} \right)} \right] + C\) \( =  - \frac{2}{3}\cos \left( {{x^{\frac{3}{2}}} + 1} \right) + C\)

LG d

\(y = {{\sin \left( {2x + 1} \right)} \over {{{\cos }^2}\left( {2x + 1} \right)}};\)

Phương pháp giải:

Đổi biến \(u=\cos (2x+1)\)

Lời giải chi tiết:

Đặt \(u = \cos \left( {2x + 1} \right) \) \(\Rightarrow du =  - 2\sin \left( {2x + 1} \right)dx \) \(\Rightarrow \sin \left( {2x + 1} \right)dx =  - {1 \over 2}du\)

Do đó 

\(\int {\dfrac{{\sin \left( {2x + 1} \right)}}{{{{\cos }^2}\left( {2x + 1} \right)}}dx} \)\( = \int {\left( { - \dfrac{1}{{2{u^2}}}} \right)du}  = \dfrac{1}{2}\int {\left( { - \dfrac{1}{{{u^2}}}} \right)du} \) \( = \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{u} + C = \dfrac{1}{{2u}} + C\)  \( = \dfrac{1}{{2\cos \left( {2x + 1} \right)}} + C\)

Cách khác: Đưa vào vi phân

\(\int {\dfrac{{\sin \left( {2x + 1} \right)}}{{{{\cos }^2}\left( {2x + 1} \right)}}dx} \)\( = \int {\dfrac{{ - \dfrac{1}{2}\left[ {\cos \left( {2x + 1} \right)} \right]'dx}}{{{{\cos }^2}\left( {2x + 1} \right)}}} \) \( =  - \dfrac{1}{2}\int {\dfrac{{d\left( {{{\cos }^2}\left( {2x + 1} \right)} \right)}}{{{{\cos }^2}\left( {2x + 1} \right)}}} \) \( =  - \dfrac{1}{2}.\left( { - \dfrac{1}{{\cos \left( {2x + 1} \right)}}} \right) + C\) \( = \dfrac{1}{{2\cos \left( {2x + 1} \right)}} + C\)

  Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.8 trên 6 phiếu

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2022 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.


Hỏi bài