Bài 41 Trang 175 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao


Tìm nguyên hàm của các hàm số sau

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

LG a

\(y = 2x\left( {1 - {x^{ - 3}}} \right);\)

Lời giải chi tiết:

\(\int {2x\left( {1 - {x^{ - 3}}} \right)} dx = \int {\left( {2x - 2{x^{ - 2}}} \right)dx }\) \(= \dfrac{{2x}}{2} - \dfrac{{2.{x^{ - 1}}}}{{ - 1}} + C = x + 2.{x^{ - 1}} + C\) \(= {x^2} + {2 \over x} + C \)

LG b

 \(y = 8x - {2 \over {{x^{{1 \over 4}}}}};\)

Lời giải chi tiết:

\(\int {\left( {8x - {2 \over {{x^{{1 \over 4}}}}}} \right)dx = } \int {\left( {8x - 2{x^{ - {1 \over 4}}}} \right)} dx\) \( = \dfrac{{8{x^2}}}{2} - \dfrac{{2.{x^{\frac{3}{4}}}}}{{\frac{3}{4}}} + C\) \( = 4{x^2} - {8 \over 3}{x^{{3 \over 4}}} + C\)

LG c

\(y = {x^{{1 \over 2}}}\sin \left( {{x^{{3 \over 2}}} + 1} \right);\)

Phương pháp giải:

Đổi biến \(u = {x^{{3 \over 2}}} + 1\)

Lời giải chi tiết:

Đặt 

\(u = {x^{{3 \over 2}}} + 1 \Rightarrow du = {3 \over 2}{x^{{1 \over 2}}}dx\) \(\Rightarrow {x^{{1 \over 2}}}dx = {2 \over 3}du  \)

\(\int {{x^{\frac{1}{2}}}\sin \left( {{x^{\frac{3}{2}}} + 1} \right)dx} \)\( = \frac{2}{3}\int {\sin udu} \)  \( =  - \frac{2}{3}\cos u + C\) \( =  - \frac{2}{3}\cos \left( {{x^{\frac{3}{2}}} + 1} \right) + C\)

Cách 2: Đưa vào vi phân

\(\int {{x^{\frac{1}{2}}}\sin \left( {{x^{\frac{3}{2}}} + 1} \right)dx} \)\( = \int {\frac{2}{3}\sin \left( {{x^{\frac{3}{2}}} + 1} \right)\left( {{x^{\frac{3}{2}}} + 1} \right)'dx} \) \( = \frac{2}{3}\int {\sin \left( {{x^{\frac{3}{2}}} + 1} \right)d\left( {{x^{\frac{3}{2}}} + 1} \right)} \) \( = \frac{2}{3}.\left[ { - \cos \left( {{x^{\frac{3}{2}}} + 1} \right)} \right] + C\) \( =  - \frac{2}{3}\cos \left( {{x^{\frac{3}{2}}} + 1} \right) + C\)

LG d

\(y = {{\sin \left( {2x + 1} \right)} \over {{{\cos }^2}\left( {2x + 1} \right)}};\)

Phương pháp giải:

Đổi biến \(u=\cos (2x+1)\)

Lời giải chi tiết:

Đặt \(u = \cos \left( {2x + 1} \right) \) \(\Rightarrow du =  - 2\sin \left( {2x + 1} \right)dx \) \(\Rightarrow \sin \left( {2x + 1} \right)dx =  - {1 \over 2}du\)

Do đó 

\(\int {\dfrac{{\sin \left( {2x + 1} \right)}}{{{{\cos }^2}\left( {2x + 1} \right)}}dx} \)\( = \int {\left( { - \dfrac{1}{{2{u^2}}}} \right)du}  = \dfrac{1}{2}\int {\left( { - \dfrac{1}{{{u^2}}}} \right)du} \) \( = \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{u} + C = \dfrac{1}{{2u}} + C\)  \( = \dfrac{1}{{2\cos \left( {2x + 1} \right)}} + C\)

Cách khác: Đưa vào vi phân

\(\int {\dfrac{{\sin \left( {2x + 1} \right)}}{{{{\cos }^2}\left( {2x + 1} \right)}}dx} \)\( = \int {\dfrac{{ - \dfrac{1}{2}\left[ {\cos \left( {2x + 1} \right)} \right]'dx}}{{{{\cos }^2}\left( {2x + 1} \right)}}} \) \( =  - \dfrac{1}{2}\int {\dfrac{{d\left( {{{\cos }^2}\left( {2x + 1} \right)} \right)}}{{{{\cos }^2}\left( {2x + 1} \right)}}} \) \( =  - \dfrac{1}{2}.\left( { - \dfrac{1}{{\cos \left( {2x + 1} \right)}}} \right) + C\) \( = \dfrac{1}{{2\cos \left( {2x + 1} \right)}} + C\)

  Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.8 trên 6 phiếu

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài