Giải bài tập Toán 12 Nâng cao, Toán 12 Nâng cao, đầy đủ giải tích và hình học Ôn tập chương III - Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

Bài 41 Trang 175 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao


Tìm nguyên hàm của các hàm số sau

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

LG a

\(y = 2x\left( {1 - {x^{ - 3}}} \right);\)

Lời giải chi tiết:

\(\int {2x\left( {1 - {x^{ - 3}}} \right)} dx = \int {\left( {2x - 2{x^{ - 2}}} \right)dx }\) \(= \dfrac{{2x}}{2} - \dfrac{{2.{x^{ - 1}}}}{{ - 1}} + C = x + 2.{x^{ - 1}} + C\) \(= {x^2} + {2 \over x} + C \)

LG b

 \(y = 8x - {2 \over {{x^{{1 \over 4}}}}};\)

Lời giải chi tiết:

\(\int {\left( {8x - {2 \over {{x^{{1 \over 4}}}}}} \right)dx = } \int {\left( {8x - 2{x^{ - {1 \over 4}}}} \right)} dx\) \( = \dfrac{{8{x^2}}}{2} - \dfrac{{2.{x^{\frac{3}{4}}}}}{{\frac{3}{4}}} + C\) \( = 4{x^2} - {8 \over 3}{x^{{3 \over 4}}} + C\)

LG c

\(y = {x^{{1 \over 2}}}\sin \left( {{x^{{3 \over 2}}} + 1} \right);\)

Phương pháp giải:

Đổi biến \(u = {x^{{3 \over 2}}} + 1\)

Lời giải chi tiết:

Đặt 

\(u = {x^{{3 \over 2}}} + 1 \Rightarrow du = {3 \over 2}{x^{{1 \over 2}}}dx\) \(\Rightarrow {x^{{1 \over 2}}}dx = {2 \over 3}du  \)

\(\int {{x^{\frac{1}{2}}}\sin \left( {{x^{\frac{3}{2}}} + 1} \right)dx} \)\( = \frac{2}{3}\int {\sin udu} \)  \( =  - \frac{2}{3}\cos u + C\) \( =  - \frac{2}{3}\cos \left( {{x^{\frac{3}{2}}} + 1} \right) + C\)

Cách 2: Đưa vào vi phân

\(\int {{x^{\frac{1}{2}}}\sin \left( {{x^{\frac{3}{2}}} + 1} \right)dx} \)\( = \int {\frac{2}{3}\sin \left( {{x^{\frac{3}{2}}} + 1} \right)\left( {{x^{\frac{3}{2}}} + 1} \right)'dx} \) \( = \frac{2}{3}\int {\sin \left( {{x^{\frac{3}{2}}} + 1} \right)d\left( {{x^{\frac{3}{2}}} + 1} \right)} \) \( = \frac{2}{3}.\left[ { - \cos \left( {{x^{\frac{3}{2}}} + 1} \right)} \right] + C\) \( =  - \frac{2}{3}\cos \left( {{x^{\frac{3}{2}}} + 1} \right) + C\)

LG d

\(y = {{\sin \left( {2x + 1} \right)} \over {{{\cos }^2}\left( {2x + 1} \right)}};\)

Phương pháp giải:

Đổi biến \(u=\cos (2x+1)\)

Lời giải chi tiết:

Đặt \(u = \cos \left( {2x + 1} \right) \) \(\Rightarrow du =  - 2\sin \left( {2x + 1} \right)dx \) \(\Rightarrow \sin \left( {2x + 1} \right)dx =  - {1 \over 2}du\)

Do đó 

\(\int {\dfrac{{\sin \left( {2x + 1} \right)}}{{{{\cos }^2}\left( {2x + 1} \right)}}dx} \)\( = \int {\left( { - \dfrac{1}{{2{u^2}}}} \right)du}  = \dfrac{1}{2}\int {\left( { - \dfrac{1}{{{u^2}}}} \right)du} \) \( = \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{u} + C = \dfrac{1}{{2u}} + C\)  \( = \dfrac{1}{{2\cos \left( {2x + 1} \right)}} + C\)

Cách khác: Đưa vào vi phân

\(\int {\dfrac{{\sin \left( {2x + 1} \right)}}{{{{\cos }^2}\left( {2x + 1} \right)}}dx} \)\( = \int {\dfrac{{ - \dfrac{1}{2}\left[ {\cos \left( {2x + 1} \right)} \right]'dx}}{{{{\cos }^2}\left( {2x + 1} \right)}}} \) \( =  - \dfrac{1}{2}\int {\dfrac{{d\left( {{{\cos }^2}\left( {2x + 1} \right)} \right)}}{{{{\cos }^2}\left( {2x + 1} \right)}}} \) \( =  - \dfrac{1}{2}.\left( { - \dfrac{1}{{\cos \left( {2x + 1} \right)}}} \right) + C\) \( = \dfrac{1}{{2\cos \left( {2x + 1} \right)}} + C\)

  Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.8 trên 6 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Hãy viết chi tiết giúp Loigiaihay.com

Vui lòng để lại thông tin để ad có thể liên hệ với em nhé!

Vấn đề em gặp phải là gì ?

Hãy viết chi tiết giúp Loigiaihay.com

Cảm ơn bạn đã sử dụng Loigiaihay.com. Đội ngũ giáo viên cần cải thiện điều gì để bạn cho bài viết này 5* vậy?

Vui lòng để lại thông tin để ad có thể liên hệ với em nhé!

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store