Toán 12 - Giải toán 12, giải bài tập toán lớp 12 đại số, hình học Bài 1. Khái niệm về khối đa diện

Giải bài 2 trang 12 SGK Hình học 12


Chứng minh rằng một đa diện mà mỗi đỉnh của nó đều là đỉnh chung của số lẻ mặt thì tổng số các đỉnh của nó là một số chẵn. Cho ví dụ.

Đề bài

Chứng minh rằng một đa diện mà mỗi đỉnh của nó đều là đỉnh chung của số lẻ mặt thì tổng số các đỉnh của nó là một số chẵn. Cho ví dụ.

Video hướng dẫn giải

Lời giải chi tiết

Giả sử đa diện \((H)\) có các đỉnh là \(A_1, … A_d\), gọi \(m_1, … m_d\) lần lượt là số các mặt của \((H)\) nhận chúng là đỉnh chung, ở đó \(m_1, … m_d\) là những số lẻ.

Như vậy mỗi đỉnh \(A_k\) có \(m_k\) cạnh đi qua.

Ta có: đỉnh \(A_1\) có \(m_1\) cạnh đi qua.

đỉnh \(A_2\) có \(m_2\) cạnh đi qua.

...

đỉnh \(A_d\) có \(m_d\) cạnh đi qua.

Do đó số các cạnh (có thể trùng nhau) của đa diện là \(m_1+m_2+...+m_d\).

Tuy nhiên, do mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai mặt nên số cạnh ở trên được đếm hai lần.

Vậy số cạnh thực tế của \((H)\) bằng

\(c = {\dfrac 1 2}({m_1} + {m_2} + ... + {m_d})\)      

Vì \(c\) là số nguyên, \(m_1, … m_d\) là những số lẻ nên \(d\) phải là số chẵn.

Ví dụ : Hình chóp ngũ giác.

Đỉnh \(S\) là đỉnh chung của 5 mặt, tất cả các đỉnh còn lại là đỉnh chung của 3 mặt, hình chóp ngũ giác có 6 đỉnh.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.4 trên 30 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store