Đề thi kì 1 môn toán lớp 12 năm 2019 - 2020 Trường THPT chuyên Đại học Sư phạm Hà Nội

MÃ ĐỀ THI 132

Đề bài

Câu 1: Cho hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) có đồ thị như hình bên. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

A. 1.                                       B. 3.

C. 0.                                       D. 2.

Câu 2: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như hình bên. Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên tập hợp \(\mathbb{R}\) bằng

A. \(1.\)                                 B.\( - 1.\)              

C.\(\dfrac{1}{3}.\)                                 D.\(3.\)

Câu 3: Hình bên là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số sau đây?

A. \(y =  - {x^3} - 1.\)       B. \(y =  - {x^3} + 3x - 1.\)

C. \(y = {x^3} - 3x - 1.\)   D. \(y = {x^3} - 1.\)

Câu 4: Hình bên là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số sau đây?

A. \(y = {\log _{\sqrt 5 }}x.\)

B. \(y = {\log _{\dfrac{1}{{\sqrt 5 }}}}x.\)

C. \(y = {\left( {\sqrt 5 } \right)^x}.\)

D. \(y = {\left( {\dfrac{1}{{\sqrt 5 }}} \right)^x}.\)

Câu 5: Nếu một khối cầu có bán kính bằng R thì có thể tích bằng

A. \(4\pi {R^3}.\)          B. \(\dfrac{4}{3}\pi {R^2}.\)                              C. \(4\pi {R^2}.\)           D. \(\dfrac{4}{3}\pi {R^3}.\)

Câu 6: Nếu một khối chóp có diện tích đáy bằng S và chiều cao bằng h thì có thể tích được tính theo công thức

A. \(V = S.h.\)                B. \(V = 3S.h.\)

C. \(V = \dfrac{1}{9}S.h.\)           D. \(V = \dfrac{1}{3}S.h.\)

Câu 7: Tập xác định  của hàm số \(y = {\left( {x + 3} \right)^{\frac{1}{3}}}\) là

A. \(\mathbb{R} \setminus \left\{ { - 3} \right\}.\)                    B. \(( - 3; + \infty ).\)

C. \({\rm{[}} - 3, + \infty ).\)                    D. \(\mathbb{R}.\)

Câu 8: Nếu một mặt cầu có đường kính bằng a thì có diện tích bằng

A. \(\pi {a^2}.\)                          B. \(4\pi {a^2}.\)

C. \(\dfrac{4}{3}\pi {a^2}.\)                     D. \(\dfrac{1}{3}\pi {a^2}.\)

Câu 9: Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Đồ thị hàm số \(y = {5^x}\) có đúng 1 tiệm cận đứng và không có tiệm cận ngang.

B. Đồ thị hàm số \(y = {5^x}\) có đúng 1 tiệm cận ngang và không có tiệm cận đứng.

C. Đồ thị hàm số \(y = {5^x}\) có đúng 1 tiệm cận ngang và đúng 1 có tiệm cận đứng.

D. Đồ thị hàm số \(y = {5^x}\) không có tiệm cận ngang và không có tiệm cận đứng.

Câu 10: Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. \({({e^x})^y} = {e^x}^y\forall x,y \in \mathbb{R}.\)

B. \({e^{x - y}} = {e^x} - {e^y}\)\(\forall x,y \in \mathbb{R}.\)

C. \({({e^x})^y} = {e^x}.{e^y}_{}^{}\forall x,y \in \mathbb{R}.\)

D. \({e^{x + y}} = {e^x} + {e^y}\)\(\forall x,y \in \mathbb{R}.\)

Câu 11: Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. \({\log _2}\left( {\dfrac{x}{y}} \right) = \dfrac{{{{\log }_2}x}}{{{{\log }_2}y}}\forall x,y > 0,y \ne 1.\)

B. \({\log _2}\left( {\dfrac{x}{y}} \right) = \dfrac{x}{{{{\log }_2}y}}\forall x,y > 0,y \ne 1.\)

C. \({\log _2}\left( {\dfrac{x}{y}} \right) = {\log _2}x + {\log _2}y\forall x,y > 0.\)

D. \({\log _2}\left( {\dfrac{x}{y}} \right) = {\log _2}x - {\log _2}y\forall x,y > 0.\)

Câu 12: Hàm số nào trong các hàm số sau đây nghịch biến trên \(\mathbb{R}?\)

A. \(y = {\log _{0,9}}x.\)                    B. \(y = {9^x}.\)

C. \(y = {\log _9}x.\)                    D. \(y = {\left( {0,9} \right)^x}.\)

Câu 13: Tập nghiệm của bất phương trình \({\left( {0,8} \right)^x} < 3\) là

A. \(\left( {{{\log }_{0,8}}3; + \infty } \right).\)

B. \(\left( { - \infty ;{{\log }_{0,8}}3} \right).\)

C. \(\left( {{{\log }_3}\dfrac{4}{5}; + \infty } \right).\)

D. \(\left( { - \infty ;{{\log }_3}\dfrac{4}{5}} \right).\)

Câu 14: Nếu các số dương a, b thỏa mãn \({2020^a} = b\) thì

A. \(a = {2020^{\dfrac{1}{b}}}.\)

B. \(a = \dfrac{1}{{{{2020}^b}}}.\)

C. \(a = {\log _{2020}}b.\)

D. \(a = {\log _{\dfrac{1}{{2020}}}}b.\)

Câu 15: Cho biểu thức \(P = \sqrt[5]{{{x^6}}}\left( {x > 0} \right).\) Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. \(P = {x^{30}}.\)                         B. \(P = {x^{\sqrt[5]{6}}}.\)

C. \(P = {x^{\dfrac{6}{5}}}.\)                         D. \(P = {x^{\dfrac{5}{6}}}.\)

Câu 16: Khối lập phương cạnh a có thể tích bằng

A. \({a^3}.\)                   B. \(\dfrac{{{a^3}}}{3}.\)

C. \(\dfrac{{{a^3}}}{2}.\)                   D. \(\dfrac{{{a^3}}}{6}.\)

Câu 17: Phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{6x - 5}}{{x + 6}}\) là

A. \(x =  - 6.\)                 B.\(y = \dfrac{{ - 5}}{6}.\)

C. \(x = 6.\)                    D. \(y = 6.\)

Câu 18: Nếu một khối trụ có bán kính đường tròn đáy bằng \(R\) và chiều cao bằng \(h\) thì có thể tích bằng

   A. \(\pi {R^2}h.\)                 B. \(\dfrac{1}{3}\pi {R^2}h.\)

   C. \(\dfrac{1}{2}\pi {R^2}h.\)              D. \(3\pi {R^2}h.\)

Câu 19: Nếu một hình nón có đường kính đường tròn đáy bằng a và độ dài đường sinh bằng l thì có diện tích xung quanh bằng

A. \(\pi al.\)                    B. \(2\pi al.\)

C. \(\dfrac{1}{3}\pi al.\)                   D. \(\dfrac{1}{2}\pi al.\)

Câu 20: Trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right),\) đạo hàm của hàm số \(y = \sqrt[8]{{{x^{15}}}}\) bằng

A. \(\sqrt[8]{{{x^7}}}.\)                           B. \(\sqrt[7]{{{x^8}}}.\)

C. \(\dfrac{{15}}{8}\sqrt[8]{{{x^7}}}.\)                     D. \(\dfrac{{15}}{8}\sqrt[7]{{{x^8}}}.\)

Câu 21: Cho ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = b. Quay hình chữ nhật ABCD xung quanh cạnh AB ta được một khối tròn xoay có thể tích bằng

A. \(\dfrac{1}{3}\pi {a^2}b.\)                            B. \(\dfrac{1}{3}\pi {b^2}a.\)

C. \(\pi {b^2}a.\)                            D. \(\pi {a^2}b.\)

Câu 22: Đạo hàm của hàm số \(y = \dfrac{1}{{{{\left( {1 - x} \right)}^3}}}\)  bằng

A. \(\dfrac{3}{{{{\left( {1 - x} \right)}^4}}}.\)

B. \(\dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^4}}}.\)

C. \(\dfrac{3}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}.\)

D. \(\dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}.\)

Câu 23: Tập hợp các giá trị m để phương trình \({\log _{2020}}x = m\) có nghiệm thực là

A. \(\mathbb{R}.\)                       B. \(\left( {0; + \infty } \right).\)

C. \(\left( { - \infty ;0} \right).\)                       D. \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}.\)

Câu 24: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(f'\left( x \right) > 0_{}^{}\forall x \in \left( {0;1} \right),f'\left( x \right) < 0_{}^{}\forall x \in \left( {1;2} \right).\) Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đã cho nghịch biến trên \(\left( {0;1} \right)\) và đồng biến trên \(\left( {1;2} \right).\)

B. Hàm số đã cho nghịch biến trên \(\left( {0;1} \right)\) và nghịch biến trên \(\left( {1;2} \right).\)

C. Hàm số đã cho đồng biến trên \(\left( {0;1} \right)\) và đồng biến trên \(\left( {1;2} \right).\)

D. Hàm số đã cho đồng biến trên \(\left( {0;1} \right)\) và nghịch biến trên \(\left( {1;2} \right).\)

Câu 25: Nếu hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(f\left( x \right) < f\left( 0 \right)\forall x \in \left( { - 2;2} \right)\backslash \left\{ 0 \right\}\) thì

A. \(x = 0\) là một điểm cực tiểu của hàm số đã cho.

B. \(x = 0\) là một điểm cực đại của hàm số đã cho.

C. Hàm số đã cho có giá trị nhỏ nhất trên tập số \(\mathbb{R}\) bằng \(f\left( 0 \right).\)

D. Hàm số đã cho có giá trị lớn nhất trên tập số \(\mathbb{R}\) bằng \(f\left( 0 \right).\)

Câu 26: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = {x^3}\) tại điểm hoành độ 0 là đường thẳng

A. \(x = 0.\)                    B. \(y = x.\)

C. \(y = 0.\)                    D. \(y =  - x.\)

Câu 27: Hàm số \(y = \dfrac{1}{x}\) nghịch biến trên khoảng

A.\(\left( { - \infty ; + \infty } \right).\)                     B.\(\left( { - \infty ;1} \right).\)

C.\(\left( { - 1; + \infty } \right).\)                     D.\(\left( {0; + \infty } \right).\)

Câu 28: Cho khối chóp S.ABC có \(SA \bot \left( {ABC} \right),SA = h,AB = c,AC = b,\) \(BAC = \alpha .\)Thể tích khối chóp S.ABC bằng  

A. \(\dfrac{1}{3}bch.\sin \alpha .\)

B. \(\dfrac{1}{3}bch.\cos \alpha .\)

C. \(\dfrac{1}{6}bch.\cos \alpha .\)

D. \(\dfrac{1}{6}bch.\sin \alpha .\)

Câu 29: Tập nghiệm của bất phương trình \({\log _{\dfrac{1}{2}}}\left( {x - 1} \right) > 0\) là

A. \(\left( {2; + \infty } \right).\)                       B. \(\left( {1;2} \right).\)

C. \(\left( { - \infty ;2} \right).\)                        D. \(\left( {1; + \infty } \right).\)

Câu 30: Cho \(a = {\log _7}5,b = {\log _3}5.\) Biểu thức \(M = {\log _{21}}5\) bằng

A. \(\dfrac{{a + b}}{{ab}}.\)                              B. \(\dfrac{{ab}}{{a + b}}.\)

C. \(ab.\)                              D. \(\dfrac{1}{{ab}}.\)

Câu 31: Tập hợp các số thực m để phương trình \(\log \left( {{x^2} - 2020} \right) = \log \left( {mx} \right)\) có nghiệm là

A. \(\mathbb{R}.\)                       B. \(\left( {0; + \infty } \right).\)

C. \(\left( { - \infty ;0} \right).\)                        D. \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}.\)

Câu 32: Cho mặt cầu tâm O đường kính 9cm. Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu đã cho khi và chỉ khi khoảng cách từ O đến (P) bằng

A. \(3cm.\)                      B. \(4,5cm.\)

C. \(9cm.\)                      D. \(18cm.\)

Câu 33: Cho ABC là tam giác vuông tại đỉnh A, AB=a, AC=b. Quay hình tam giác ABC xung quanh cạnh AC ta được một khối tròn xoay có diện tích xung quanh bằng

A. \(\pi a\sqrt {{a^2} + {b^2}} .\)        B. \(\pi b\sqrt {{a^2} + {b^2}} .\)

C. \(\dfrac{1}{3}\pi a\sqrt {{a^2} + {b^2}} .\)     D. \(\dfrac{1}{3}\pi b\sqrt {{a^2} + {b^2}} .\)

Câu 34: Nếu tăng bán kính của một khối cầu gấp 2 lần thì thể tích thay đổi như thế nào?

A.  Thể tích tăng gấp 2 lần.

B. Thể tích tăng gấp 4 lần.                  

C. Thể tích tăng  gấp 8 lần. 

D. Thể tích tăng gấp \(\dfrac{4}{3}\) lần.

Câu 35: Một cái xúc xích dạng hình trụ có đường kính đáy 2cm và chiều cao 6cm, giả sử giá bán mỗi cm³ xúc xích là 500 đồng. Bạn An cần trả tiền để mua một gói 4 cái xúc xích. Số tiền gần đúng nhất cho 4 cái xúc xích là

A. 19 000 (đồng).          B. 76 000 (đồng).

C. 38 000 (đồng).       D. 30 000 (đồng).

Câu 36: Một quả bóng đá có dạng hình cầu bán kính 12cm. Diện tích mặt ngoài quả bóng là 

A. \(144\pi \left( {c{m^2}} \right).\)             B. \(192\pi \left( {c{m^2}} \right).\)

C. \(576\left( {c{m^2}} \right).\)             D. \(576\pi \left( {c{m^2}} \right).\)

Câu 37: Một người gửi số tiền 100 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 6,8%/năm. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu (người ta gọi là lãi kép). Nếu người đó gửi tiền trong đúng 4 năm và trong khoảng thời gian đó không rút tiền ra thì người đó có số tiền là

A. \(100.1,{068^4}\)(đồng).

B. \(100.1,{068^5}\)(triệu đồng).

C. \(100.1,{068^3}\)(triệu đồng).

D. \(100.1,{068^4}\)(triệu đồng).

Câu 38: Cho hàm số \(f\left( x \right) = {\log _{0,5}}\left( {6x - {x^2}} \right).\) Tập nghiệm của bất phương trình \(f'\left( x \right) > 0\) là

A. \(\left( {3; + \infty } \right).\)                  B. \(\left( { - \infty ;3} \right).\)

C. \(\left( {3;6} \right).\)                  D. \(\left( {0;3} \right).\)

Câu 39: Cho hình chóp đều S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh 2a và \(SA \bot SC.\) Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đều đã cho bằng

A. \(\dfrac{a}{{\sqrt 2 }}.\)                          B. \(a\sqrt 2 .\)

C. \(a.\)                          D. \(2a.\)

Câu 40: Một khối bê tông có dạng hình lăng trụ đứng với độ dài các cạnh đáy là 3dm, 4dm, 5dm, độ dài cạnh bên là 6dm. Thể tích của khối bê tông bằng

A. \(72\left( {d{m^3}} \right).\)         B. \(24\left( {d{m^3}} \right).\)

C. \(216\left( {d{m^3}} \right).\)              D. \(36\left( {d{m^3}} \right).\)

Câu 41: Một dụng cụ đựng chất lỏng có dạng hình nón với chiều cao là 30cm và bán kính đáy là 15cm. Dụng cụ này đựng được tối đa bao nhiêu cm³ chất lỏng?            

A. \(2250\pi \left( {c{m^3}} \right).\)           B. \(750\pi \left( {c{m^3}} \right).\)

C. \(2250\left( {c{m^3}} \right).\)           D. \(750\left( {c{m^3}} \right).\)

Câu 42: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB=3a, AD=4a, AA’=5a. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A’.ABCD bằng 

A. \(5a.\)                                B. \(\dfrac{{5a}}{2}.\)

C. \(\dfrac{{5a\sqrt 2 }}{2}.\)                      D. \(5a\sqrt 2 .\)

Câu 43: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, BC=a. Quay hình tròn ngoại tiếp tam giác vuông ABC xung quanh cạnh BC ta được một khối tròn xoay có thể tích bằng

A. \(\dfrac{{4\pi {a^3}}}{3}.\)                           B. \(\dfrac{{\pi {a^3}}}{3}.\)

C. \(\dfrac{{\pi {a^3}}}{2}.\)                     D. \(\dfrac{{\pi {a^3}}}{6}.\)

Câu 44: Nếu S.ABC là hình chóp đều có chiều cao bằng h và cạnh đáy bằng a thì có thể tích bằng

  A. \(\dfrac{{{a^2}h\sqrt 3 }}{3}.\)               B. \(\dfrac{{{a^2}h\sqrt 3 }}{6}.\)

  C. \(\dfrac{{{a^2}h\sqrt 3 }}{{12}}.\)           D. \(\dfrac{{{a^2}h\sqrt 3 }}{4}.\)

Câu 45: Cho một hình nón đỉnh S và AB là một đường kính của đường tròn đáy. Nếu tam giác SAB đều thì góc ở đỉnh của hình nón bằng  

      A. \({30^0}.\)                        B. \({60^0}.\)

      C. \({90^0}.\)                        D. \({120^0}.\)

Câu 46: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi (H) là hình trụ có hai đường tròn đáy lần lượt là đường tròn ngoại tiếp các hình vuông ABCD, A’B’C’D’. Diện tích toàn phần của hình trụ (H) là

    A. \(\left( {2 + 2\sqrt 2 } \right)\pi {a^2}.\)

    B. \(\left( {4 + \sqrt 2 } \right)\pi {a^2}.\)

    C. \(\left( {2 + \sqrt 2 } \right)\pi {a^2}.\)

    D. \(\left( {1 + \sqrt 2 } \right)\pi {a^2}.\)

Câu 47: Tập hợp các giá trị m để hàm số \(y = \dfrac{{{x^3}}}{3} - m{x^2} + \left( {10m - 25} \right)x + 1\)  có hai điểm cực trị là

     A. \(\mathbb{R}.\)               B. \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 5} \right\}.\)

     C. \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 5 \right\}.\)                 D. \(\left( {5; + \infty } \right).\)

Câu 48: Tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{\sqrt {x - 10}  + \sqrt {20 - x} }}{{\sqrt x }}\)  là

  A. \(3.\)                          B. \(2.\)                        C. \(1.\)                   D. \(0.\)

Câu 49: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có thể tích bằng V. Thể tích của khối tứ diện ACB’D’ bằng

   A. \(\dfrac{1}{6}V.\)                          B. \(\dfrac{1}{4}V.\)

   C. \(\dfrac{1}{3}V.\)                          D. \(\dfrac{1}{2}V.\)

Câu 50: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị đạo hàm  \(y = f'\left( x \right)\)như hình bên. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng

A. \(\left( {1;2} \right).\)           B. \(\left( {0;1} \right).\)

C. \(\left( {\dfrac{{ - 1}}{2};0} \right).\)            D. \(\left( {0;2} \right).\)

---------- HẾT ----------

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Thực hiện bởi ban chuyên môn Loigiaihay.com

Câu 1 (NB)

Phương pháp:

Dựa vào đồ thị hàm số để nhận xét số điểm cực trị của hàm số.

Cách giải:

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số có 2 điểm cực trị là \(x = 1\) và \(x =  - 1.\)

Chọn  D.

Câu 2 (NB)

Phương pháp:

Dựa vào BBT để nhận xét giá trị lớn nhất của hàm số.

Cách giải:

Dựa vào BBT ta thấy hàm số đạt giá trị lớn nhất là: \({y_{\max }} = 3\) khi \(x =  - 1.\) 

Chọn  D.

Câu 3 (NB)

Phương pháp:

Dựa vào đồ thị hàm số để nhận xét dấu của hệ số \(a\) và nhận xét các điểm mà đồ thị hàm số đi qua từ đó tìm hàm số của đồ thị.

Cách giải:

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy nét cuối của hàm số đi xuống nên \(a < 0 \Rightarrow \) loại đáp án C  và D.

Đồ thị hàm số đi qua điểm \(\left( {1;\,\,1} \right).\)

+) Đáp án A: Thay tọa độ điểm \(\left( {1;\,1} \right)\) vào hàm số: \(y =  - {x^3} - 1\) ta được: \(1 =  - 1 - 1 \Leftrightarrow 1 =  - 2\) vô lý.

\( \Rightarrow \) loại đáp án A.

+) Đáp án B: Thay tọa độ điểm \(\left( {1;\,1} \right)\) vào hàm số: \(y =  - {x^3} + 3x - 1\) ta được: \(1 =  - 1 + 3 - 1 \Leftrightarrow 1 = 1\) luôn đúng.

\( \Rightarrow \) chọn đáp án B.

Chọn B.

Câu 4 (NB)

Phương pháp:

Dựa vào đồ thị hàm số để nhận xét dấu của hệ số \(a\) và nhận xét các điểm mà đồ thị hàm số đi qua từ đó tìm hàm số của đồ thị.

Cách giải:

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số cần tìm là hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) và có TGT là: \(G = \left( {0; + \infty } \right).\)

\( \Rightarrow \) chọn đáp án C.

+) Đáp án A, B loại vì có TXĐ là: \(D = \left( {0; + \infty } \right)\) và  TGT của hàm số là: \(G = \mathbb{R}.\)

+) Đáp án D loại vì hàm số \(y = {\left( {\dfrac{1}{{\sqrt 5 }}} \right)^x}\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}.\)

Chọn  C.

Câu 5 (NB)

Phương pháp:

Công thức tính thể của khối cầu có bán kính \(r:\;\;V = \dfrac{4}{3}\pi {r^3}.\)

Cách giải:

Công thức tính thể của khối cầu có bán kính \(R:\;\;V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3}.\)

Chọn  D.

Câu 6 (NB)

Phương pháp:

Công thức tính thể tích khối chóp có diện tích đáy \(S\) và chiều cao \(h\) là: \(V = \dfrac{1}{3}Sh.\)

Cách giải:

Công thức tính thể tích khối chóp có diện tích đáy \(S\) và chiều cao \(h\) là: \(V = \dfrac{1}{3}Sh.\)

Chọn  D.

Câu 7 (TH)

Phương pháp:

Hàm số \({x^n}\) xác định \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \in \mathbb{R}\,\,\,\,khi\,\,\,n \in {\mathbb{Z}^ + }\\x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\,\,\,\,\,khi\,\,\,n \in {\mathbb{Z}^ - }\\x \in \left( {0; + \infty } \right)\,\,\,khi\,\,\,n \notin \mathbb{Z}\end{array} \right..\)

Cách giải:

Hàm số \(y = {\left( {x + 3} \right)^{\dfrac{1}{3}}}\) xác định \( \Leftrightarrow x + 3 > 0 \Leftrightarrow x >  - 3.\)

Chọn  B.

Câu 8 (NB)

Phương pháp:

Công thức tính diện tích mặt cầu bán kính \(R:\,\,S = 4\pi {R^2}.\)

Cách giải:

Bán kính của mặt cầu là:\(r = \dfrac{a}{2}.\)

\( \Rightarrow \) Diện tích mặt cầu đã cho là: \(S = 4\pi .{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)^2} = \pi {a^2}.\)

Chọn  A.

Câu 9 (NB)

Phương pháp:

Dựa vào các tính chất của đồ thị hàm số mũ.

Cách giải:

Xét hàm số \(y = {5^x}\) ta có:

+) TXĐ: \(D = \mathbb{R}\)

+) Đồ thị hàm có TCN: \(y = 0.\)

+) Đồ thị hàm số không có TCĐ.

+) Đồ thị hàm số luôn đi qua điểm \(\left( {0;\;1} \right).\)

+) Hàm số luôn đồng biến trên TXĐ.

+) Đồ thị hàm số luôn nằm phía trên trục \(Ox.\)

Chọn  B.

Câu 10 (NB)

Phương pháp:

Sử dụng các công thức: \({\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{m.n}},\,\,\,\sqrt[n]{{{a^m}}} = {a^{\dfrac{m}{n}}},\,\,\,\dfrac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{m - n}},\,\,\,{a^m}.{a^n} = {a^{m + n}}.\)

Cách giải:

Ta có: \({\left( {{e^x}} \right)^y} = {e^{xy}} \Rightarrow \) đáp án A đúng.

Chọn  A.

Câu 11 (NB)

Phương pháp:

Sử dụng các công thức: \(\left\{ \begin{array}{l}{\log _a}xy = {\log _a}x + {\log _a}y;\;\;{\log _a}\dfrac{x}{y} = {\log _a}x - {\log _a}y\\{\log _{{a^n}}}x = \dfrac{1}{n}{\log _a}x;\;\;{\log _a}{x^m} = m{\log _a}x.\end{array} \right.\)

Cách giải:

Ta có: \({\log _2}\left( {\dfrac{x}{y}} \right) = {\log _2}x - {\log _2}y \Rightarrow \) đáp án D đúng.

Chọn  D.

Câu 12 (NB)

Phương pháp:

Hàm số:\(y = {a^x}\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\)  khi\(a > 1\) và nghịch biến khi \(0 < a < 1.\)

Cách giải:

Loại đáp án A và C vì TXĐ của các hàm số này là: \(D = \left( {0; + \infty } \right).\)

Đáp án B: \(y = {9^x}\) có \(a = 9 > 1 \Rightarrow \) hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)

Đáp án D: \(y = 0,{9^x}\) có \(a = 0,9 < 1 \Rightarrow \) hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}.\)

Chọn  D.

Câu 13 (TH)

Phương pháp:

Giải bất phương trình mũ  \({a^x} > {a^b} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a > 1\\x > b\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}0 < a < 1\\x < b\end{array} \right.\end{array} \right..\)

Cách giải:

Ta có: \({\left( {0,8} \right)^x} < 3 \Leftrightarrow x > {\log _{0,8}}3.\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \(S = \left( {{{\log }_{0,8}}3;\,\, + \infty } \right).\)

Chọn  A.

Câu 14 (TH)

Phương pháp:

Giải phương trình mũ: \({a^m} = b \Leftrightarrow m = {\log _a}b.\)

Cách giải:

Ta có: \({2020^a} = b \Leftrightarrow a = {\log _{2020}}b.\)

Chọn  C.

Câu 15 (TH)

Phương pháp:

Sử dụng công thức: \(\sqrt[n]{{{a^m}}} = {a^{\dfrac{m}{n}}}.\)

Cách giải:

Ta có: \(P = \sqrt[5]{{{x^6}}} = {x^{\dfrac{6}{5}}}.\)

Chọn  C.

Câu 16 (NB)

Phương pháp:

Thể tích khối lập phương có cạnh \(a\) là \(V = {a^3}.\)

Cách giải:

Thể tích khối lập phương có cạnh \(a\) là \(V = {a^3}.\)

Chọn  A.

Câu 17 (TH)

Phương pháp:

Đường thẳng \(y = b\) được gọi là TCN của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } f\left( x \right) = b.\)

Cách giải:

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 6 \right\}.\)

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 6} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 6} \dfrac{{6x - 5}}{{x + 6}} = 6 \Rightarrow y = 6\) là TCN của đồ thị hàm số.

Chọn  D.

Câu 18 (NB)

Phương pháp:

Công thức tính thể tích của khối trụ có bán kính đáy \(R\) và chiều cao \(h:\;\;\;V = \pi {R^2}h.\) 

Cách giải:

Công thức tính thể tích của khối trụ có bán kính đáy \(R\) và chiều cao \(h:\;\;\;V = \pi {R^2}h.\)

Chọn  A.

Câu 19 (NB)

Phương pháp:

Công thức tính diện tích xung quanh hình nón có bán kính đáy \(R,\;\) chiều cao \(h\) và đường sinh \(l:\;\)

\(\;{S_{xq}} = \pi Rl = \pi R\sqrt {{h^2} + {R^2}} \)

Cách giải:

Bán kính đường tròn đáy của hình nón là:\(R = \dfrac{a}{2}.\)

Công thức tính diện tích xung quanh hình nón có bán kính đáy \(R = \dfrac{a}{2}\) và đường sinh \(l:\;\) \(\;{S_{xq}} = \dfrac{1}{2}\pi al.\)

Chọn  D.

Câu 20 (TH)

Phương pháp:

Sử dụng công thức đạo hàm cơ bản của hàm số.

Cách giải:

Ta có: \(y = \sqrt[8]{{{x^{15}}}} = {x^{\dfrac{{15}}{8}}}\)

\( \Rightarrow y' = \left( {{x^{\frac{{15}}{8}}}} \right)' = \dfrac{{15}}{8}{x^{\frac{{15}}{8} - 1}} = \dfrac{{15}}{8}.{x^{\frac{7}{8}}} = \dfrac{{15}}{8}\sqrt[8]{{{x^7}}}.\)

Chọn  C.

Câu 21 (TH)

Phương pháp:

Quay hình chữ nhật \(ABCD\) quanh cạnh \(AB\) ta được hình trụ có chiều cao \(h = AB\) và bán kính đáy \(R = AD.\)

Công thức tính thể tích của khối trụ có bán kính đáy \(R\) và chiều cao \(h:\;\;\;V = \pi {R^2}h.\)

Cách giải:

Quay hình chữ nhật \(ABCD\) quanh cạnh \(AB\) ta được hình trụ có

chiều cao \(h = AB\) và bán kính đáy \(R = AD.\)

\( \Rightarrow V = \pi .{b^2}a = \pi a{b^2}.\) 

Chọn  C.

Câu 22 (TH)

Phương pháp:

Sử dụng công thức đạo hàm của hàm phân thức: \(y = \left( {\dfrac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}} \right)' = \dfrac{{f'\left( x \right)g\left( x \right) - g'\left( x \right)f\left( x \right)}}{{{g^2}\left( x \right)}}.\)

Cách giải:

Ta có: \(y = \dfrac{1}{{{{\left( {1 - x} \right)}^3}}} \Rightarrow y' = \dfrac{{3{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^6}}} = \dfrac{3}{{{{\left( {1 - x} \right)}^4}}}.\)

Chọn  A.

Câu 23 (TH)

Phương pháp:

Tìm điều kiện xác định của phương trình.

Số nghiệm của phương trình \({\log _{2020}}x = m\) là số giao điểm của đồ thị hàm số  \(y = {\log _{2020}}x\) và đường thẳng\(y = m.\)

Tìm TGT của hàm số \(y = {\log _{2020}}x\) rồi tìm \(m.\)

Cách giải:

Điều kiện: \(x > 0.\)

Ta có: Số nghiệm của phương trình \({\log _{2020}}x = m\) là số giao điểm của đồ thị hàm số  \(y = {\log _{2020}}x\) và đường thẳng\(y = m.\)

Ta có TGT của hàm số \(y = {\log _{2020}}x\) là \(\mathbb{R}.\)

\( \Rightarrow \) Phương trình đã cho có nghiệm \( \Leftrightarrow m \in \mathbb{R}.\)

Chọn  A.

Câu 24 (TH)

Phương pháp:

+) Hàm số \(y = f\left( x \right)\)  đồng biến trên \(\left( {a;\;b} \right) \Leftrightarrow f'\left( x \right) \ge 0\;\;\forall x \in \left( {a;\;b} \right).\)

+) Hàm số \(y = f\left( x \right)\)  nghịch biến trên \(\left( {a;\;b} \right) \Leftrightarrow f'\left( x \right) \le 0\;\;\forall x \in \left( {a;\;b} \right).\)

Cách giải:

Ta có: \(f'\left( x \right) > 0\,\,\forall x \in \left( {0;\,\,1} \right) \Rightarrow \) hàm số \(y = f\left( x \right)\)  đồng biến trên \(\left( {0;\,\,1} \right).\) 

\(f'\left( x \right) < 0\,\,\forall x \in \left( {1;\,\,2} \right) \Rightarrow \) hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left( {1;\,\,2} \right).\)

Chọn  D.

Câu 25 (TH)

Phương pháp:

Khái niệm cực trị của hàm số: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên khoảng \(\left( {a;\,\,b} \right)\) và điểm \({x_0} \in \left( {a;\,\,b} \right).\)

+) Nếu tồn tại  số \(h > 0\) sao cho \(f\left( x \right) < f\left( {{x_0}} \right)\) với mọi \(x \in \left( {{x_0} - h;\,\,{x_0} + h} \right)\) và \(x \ne {x_0}\) thì ta nói hàm số \(f\left( x \right)\) đạt cực đại tại \({x_0}.\)

+) Nếu tồn tại  số \(h > 0\) sao cho \(f\left( x \right) > f\left( {{x_0}} \right)\) với mọi \(x \in \left( {{x_0} - h;\,\,{x_0} + h} \right)\) và \(x \ne {x_0}\) thì ta nói hàm số \(f\left( x \right)\) đạt cực tiểu tại \({x_0}.\)

Cách giải:

Ta có: \(f\left( x \right) < f\left( 0 \right)\,\,\forall x \in \left( { - 2;\,\,2} \right)\backslash \left\{ 0 \right\} \Rightarrow x = 0\) là điểm cực đại của hàm số \(y = f\left( x \right).\) 

Chọn B.

Câu 26 (TH)

Phương pháp:

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm \(M\left( {{x_0};\;{y_0}} \right)\) thuộc đồ thị hàm số là: \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}.\)

Cách giải:

Ta có: \(y = {x^3} \Rightarrow y' = 3{x^2}\)

Đồ thị hàm số đi qua điểm có hoành độ là \(0 \Rightarrow \) đồ thị hàm số đi qua \(O\left( {0;\,\,0} \right).\)

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = {x^3}\) tại \(O\left( {0;\,\,0} \right)\)  là: \(y = y'\left( 0 \right)\left( {x - 0} \right) + 0 = 0.\)

Chọn  C.

Câu 27 (VD)

Phương pháp:

Hàm số \(y = f\left( x \right)\)  nghịch biến trên \(\left( {a;\;b} \right) \Leftrightarrow f'\left( x \right) \le 0\;\;\forall x \in \left( {a;\;b} \right).\)

Cách giải:

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}.\)

Ta có: \(y = \dfrac{1}{x} \Rightarrow y' =  - \dfrac{1}{{{x^2}}} < 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}.\)

\( \Rightarrow \) Hàm số \(y = \dfrac{1}{x}\) nghịch biến trên \(\left( { - \infty ;\,\,0} \right)\) và \(\left( {0; + \infty } \right).\)

Chọn  D.

Câu 28 (TH)

Phương pháp:

Công thức tính thể tích khối chóp có diện tích đáy \(S\) và chiều cao \(h\) là: \(V = \dfrac{1}{3}Sh.\)

Cách giải:

Ta có: \({S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.AC.\sin \angle BAC = \dfrac{1}{2}.b.c.\sin \alpha .\)

\({V_{SABC}} = \dfrac{1}{3}{S_{ABC}}h = \dfrac{1}{3}.h.\dfrac{1}{2}bc\sin \alpha  = \dfrac{1}{6}bch\sin \alpha .\)

Chọn  D.

Câu 29 (VD)

Phương pháp:

Giải bất phương trình  \({\log _a}x < b \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a > 1\\x < {a^b}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}0 < a < 1\\x > {a^b}\end{array} \right.\end{array} \right..\)

Cách giải:

Điều kiện: \(x - 1 > 0 \Leftrightarrow x > 1.\)

\({\log _{\dfrac{1}{2}}}\left( {x - 1} \right) > 0 \Leftrightarrow x - 1 < {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^0} \Leftrightarrow x - 1 < 1 \Leftrightarrow x < 2.\)

Kết hợp với điều kiện ta được tập nghiệm của bất phương trình là: \(S = \left( {1;\,\,2} \right).\)

Chọn B.

Câu 30 (VD)

Phương pháp:

Sử dụng các công thức: \(\left\{ \begin{array}{l}{\log _a}xy = {\log _a}x + {\log _a}y;\;\;{\log _a}\dfrac{x}{y} = {\log _a}x - {\log _a}y\\{\log _{{a^n}}}x = \dfrac{1}{n}{\log _a}x;\;\;{\log _a}{x^m} = m{\log _a}x.\end{array} \right.\)

Cách giải:

\(\begin{array}{l}{\log _{21}}5 = \dfrac{1}{{{{\log }_5}21}} = \dfrac{1}{{{{\log }_5}3 + {{\log }_5}7}} = \dfrac{1}{{\dfrac{1}{{{{\log }_3}5}} + \dfrac{1}{{{{\log }_7}5}}}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{{\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}}} = \dfrac{1}{{\dfrac{{a + b}}{{ab}}}} = \dfrac{{ab}}{{a + b}}.\end{array}\) 

Chọn  B.

Câu 31 (VD):

Phương pháp:

\(\log f\left( x \right) = \log g\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}g\left( x \right) > 0\\f\left( x \right) = g\left( x \right)\end{array} \right.\).

Cách giải:

\(\begin{array}{l}\log \left( {{x^2} - 2020} \right) = \log \left( {mx} \right)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}mx > 0\\{x^2} - 2020 = mx\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}mx > 0\\m \ne 0\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right)\\{x^2} - mx - 2020 = 0\,\,\left( {**} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Để phương trình ban đầu có nghiệm thì phương trình (**) phải có nghiệm thỏa mãn điều kiện (*).

Ta có: \(\Delta  = {m^2} + 4.2020 > 0\,\,\forall m \Rightarrow \) Phương trình (**) luôn có 2 nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}{x_1} = \dfrac{{m + \sqrt {{m^2} + 8080} }}{2}\\{x_1} = \dfrac{{m - \sqrt {{m^2} + 8080} }}{2}\end{array} \right.\).

Xét \({x_1}\) thỏa mãn (*) ta có:

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{{{\left( {m + \sqrt {{m^2} + 4.2020} } \right)}^2}}}{4} > 2020\\ \Leftrightarrow 2{m^2} + 8080 + 2m\sqrt {{m^2} + 8080}  > 8080\\ \Leftrightarrow 2{m^2} + 2m\sqrt {{m^2} + 8080}  > 0\\ \Leftrightarrow 2m\left( {m + \sqrt {{m^2} + 8080} } \right) > 0\\ \Leftrightarrow 4m.\dfrac{{m + \sqrt {{m^2} + 8080} }}{2} > 0\\ \Leftrightarrow 4m{x_1} > 0\,\,\left( {\text {luôn thỏa mãn}\,\left( * \right)} \right)\end{array}\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm với mọi \(m \in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\).

Chọn D.

Câu 32 (NB):

Phương pháp:

\(\left( P \right)\) tiếp xúc với mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm \(I\), bán kính \(R \Leftrightarrow d\left( {I;\left( P \right)} \right) = R\).

Cách giải:

Mặt cầu tâm \(O\) có đường kính \(9cm \Rightarrow \) Bán kính \(R = \dfrac{9}{2} = 4,5\,\,\left( {cm} \right)\).

Vì mặt cầu tâm \(\left( P \right)\) tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) nên \(d\left( {O;\left( P \right)} \right) = R = 4,5\,\,\left( {cm} \right)\).

Chọn B.

Câu 33 (TH):

Phương pháp:

- Quay tam giác vuông \(ABC\) đỉnh \(A\) quanh cạnh \(AC\) ta nhận được khối nón có chiều cao \(h = AC\), bán kính đáy \(R = AB\), đường sinh \(l = BC\).

- Sử dụng công thức tính diện tích xung quanh hình nón có bán kính đáy \(R\), chiều cao \(l\) là: \({S_{xq}} = \pi Rl\).

Cách giải:

Quay tam giác vuông \(ABC\) đỉnh \(A\) quanh cạnh \(AC\) ta nhận được khối nón có chiều cao \(h = AC = b\), bán kính đáy \(R = AB = a\), đường sinh \(l = BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}}  = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \) (Định lí Pytago).

Vậy diện tích xung quanh của hình nón là: \({S_{xq}} = \pi Rl = \pi .a.\sqrt {{a^2} + {b^2}} \).

Chọn A.

Câu 34 (TH):

Phương pháp:

Thể tích khối cầu bán kính \(R\) là \(V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3}\).

Cách giải:

Gọi bán kính khối cầu là \(R\).

Diện tích ban đầu của khối cầu là \(V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3}\).

Sau khi tăng bán kính gấp 2 lần thì bán kính mới của khối cầu là \(R' = 2R\).

Diện tích mới của khối cầu là \(V' = \dfrac{4}{3}\pi R{'^3}\).

Ta có: \(\dfrac{{V'}}{V} = \dfrac{{\dfrac{4}{3}\pi R{'^3}}}{{\dfrac{4}{3}\pi {R^3}}} = {\left( {\dfrac{{R'}}{R}} \right)^3} = {\left( {\dfrac{{2R}}{R}} \right)^3} = 8 \Rightarrow  \Rightarrow V' = 8V\).

Vậy khi tăng bán kính của một khối cầu gấp 2 lần thì thể tích khối cầu tăng gấp 8 lần.

Chọn C.

Câu 35 (TH):

Phương pháp:

- Tính thể tích của 1 cái xúc xích, sử dụng công thức tính thể tích khối trụ có chiều cao \(h\), bán kính đáy \(R\) là \(V = \pi {R^2}h\).

- Tính giá bán 1 cái xúc xích.

- Tính giá bán 4 cái xúc xích.

Cách giải:

Thể tích của cái xúc xích là: \(V = \pi {R^2}h = \pi {\left( {\dfrac{2}{2}} \right)^2}.6 = 6\pi \,\,\left( {c{m^3}} \right)\).

Giá bán 1 cái xúc xích là \(6\pi .500 = 3000\pi \) (đồng).

Vậy giá bán 4 cái xúc xích là \(4.3000\pi  = 12000\pi  \approx 37999\) (đồng).

Chọn C.

Câu 36 (NB):

Phương pháp:

Diện tích khối cầu bán kính \(R\) là \(S = 4\pi {R^2}\).

Cách giải:

Diện tích mặt ngoài của quả bóng dạng hình cầu bán kính \(12\,\,cm\) là \(S = 4\pi {.12^2} = 576\pi \,\,\left( {c{m^2}} \right)\).

Chọn D.

Câu 37 (TH):

Phương pháp:

Sử dụng công thức lãi kép: \({A_n} = A{\left( {1 + r\% } \right)^n}\) trong đó:

- \(A\): tiền gốc.

- \(r\): lãi suất (%/năm).

- \(n\): Số năm gửi.

- \({A_n}\): Số tiền nhận được sau \(n\) năm (Tính cả gốc lẫn lãi).

Cách giải:

Số tiền người đó nhận được sau đúng 4 năm (trong khoảng thời gian đó không rút tiền ra) là:

\({A_4} = A{\left( {1 + r} \right)^4} = 100.{\left( {1 + 6,8\% } \right)^4} = 100.1,{068^4}\) (triệu đồng).

Chọn D.

Câu 38 (TH):

Phương pháp:

- Sử dụng công thức tính đạo hàm: \(\left( {{{\log }_a}u} \right)' = \dfrac{{u'}}{{u\ln a}}\).

- Giải bất phương trình \(f'\left( x \right) > 0\) bằng cách lập bảng xét dấu.

Cách giải:

Ta có:

\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = \left( {{{\log }_{0,5}}\left( {6x - {x^2}} \right)} \right)'\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{\left( {6x - {x^2}} \right)'}}{{\left( {6x - {x^2}} \right)\ln 0,5}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{6 - 2x}}{{\left( {6x - {x^2}} \right)\ln 0,5}}\end{array}\)

Khi đó: \(f'\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow \dfrac{{6 - 2x}}{{\left( {6x - {x^2}} \right)\ln 0,5}} > 0\).

 Do \(0,5 < 1 \Rightarrow \ln 0,5 < \ln 1 = 0\) \( \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow \dfrac{{6 - 2x}}{{6x - {x^2}}} < 0\).

Đặt \(g(x)=\dfrac{{6 - 2x}}{{6x - {x^2}}} \Leftrightarrow g(x)=\dfrac{{6 - 2x}}{{x(6 - x)}}\).

Ta có bảng xét dấu:

Dựa vào bảng xét dấu \( \Rightarrow x \in \left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {3;6} \right)\).

Chọn C.

Câu 39 (TH):

Phương pháp:

Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là điểm cách đều tất cả các đỉnh của hình chóp.

Cách giải:

Gọi \(O = AC \cap BD \Rightarrow OA = OB = OC = OC\).

Xét tam giác vuông \(SAC\) có trung tuyến \(SO \Rightarrow OS = \dfrac{1}{2}AC = OA = OC\).

\( \Rightarrow OA = OB = OC = OD = OS\).

\( \Rightarrow O\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp \(S.ABC\) và bán kính khối cầu là \(R = OA\).

Vì \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(2a\) nên \(AC = 2a\sqrt 2  \Rightarrow OA = a\sqrt 2 \).

Vậy \(R = a\sqrt 2 \).

Chọn B.

Câu 40 (TH):

Phương pháp:

Thể tích lăng trụ \(V = {S_{day}}.h\).

Cách giải:

Ta có: \({3^2} + {4^2} = {5^2} \Rightarrow \) Đáy là tam giác vuông có 2 cạnh góc vuông có độ dài \(3dm,\,\,4dm\).

\( \Rightarrow {S_{day}} = \dfrac{1}{2}.3.4 = 6\,\,\left( {d{m^2}} \right)\).

Vậy thể tích khối lăng trụ là \(V = {S_{day}}.h = 6.6 = 36\,\,\left( {d{m^3}} \right)\).

Chọn D.

Câu 41 (NB):

Phương pháp:

Thể tích khối nón chiều cao \(h\), bán kính đáy \(r\) là \(V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h\).

Cách giải:

Khối nón có chiều cao cao \(h = 30cm\) và bán kính đáy \(r = 15cm\) có thể tích là \(V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h = \dfrac{1}{3}\pi {.15^2}.30 = 2250\pi \,\,\left( {c{m^3}} \right)\).

Chọn A.

Câu 42 (TH):

Phương pháp:

Thể tích khối nón chiều cao \(h\), bán kính đáy \(r\) là \(V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h\).

Cách giải:

Gọi \(O\) là trung điểm của \(A'C\), khi đó \(O\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\).

\( \Rightarrow OA' = OA = OB = OC = OD \Rightarrow O\) cũng là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp \(A'ABCD\).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(ABC\) ta có:

\(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}}  = \sqrt {{{\left( {3a} \right)}^2} + {{\left( {4a} \right)}^2}}  = 5a\).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(A'AC\) có:

\(A'C = \sqrt {AA{'^2} + A{C^2}}  = \sqrt {{{\left( {5a} \right)}^2} + {{\left( {5a} \right)}^2}}  = 5a\sqrt 2 \).

Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp \(A'.ABCD\) là \(R = \dfrac{1}{2}A'C = \dfrac{{5a\sqrt 2 }}{2}\).

Chọn C.

Câu 43 (TH):

Phương pháp:

Thể tích khối cầu bán kính \(R\) là \(V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3}\).

Cách giải:

Khi quay hình tròn ngoại tiếp tam giác vuông cân \(ABC\) quanh cạnh \(BC\) ta nhận được 1 khối cầu đường kính \(BC\), khi đó bán kính khối cầu là \(R = \dfrac{{BC}}{2} = \dfrac{a}{2}\).

Vậy thể tích khối cầu là \(V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3} = \dfrac{4}{3}\pi {\left( {\dfrac{a}{2}} \right)^3} = \dfrac{{\pi {a^3}}}{6}\).

Chọn D.

Câu 44 (TH):

Phương pháp:

Thể tích khối chóp \(V = \dfrac{1}{3}{S_{day}}.h\).

Cách giải:

Chóp đều có đáy là tam giác đều cạnh \(a\) thì \({S_{day}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\).

Vậy thể tích của khối chóp là: \(V = \dfrac{1}{3}{S_{day}}.h = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.h = \dfrac{{{a^2}h\sqrt 3 }}{{12}}\).

Chọn C.

Câu 45 (NB):

Phương pháp:

Thể tích khối chóp \(V = \dfrac{1}{3}{S_{day}}.h\).

Cách giải:

Hình nón đỉnh \(S\) có \(AB\) là một đường kính của đường tròn đáy nên góc ở đỉnh của hình nón là \(\angle ASB\).

Lại có \(\Delta SAB\) đều nên \(\angle ASB = {60^0}\).

Vậy góc ở đỉnh của hình nón bằng \({60^0}\).

Chọn B.

Câu 46 (TH):

Phương pháp:

Diện tích toàn phần của hình trụ có bán kính đáy \(R\), chiều cao \(h\) là: \({S_{tp}} = 2\pi R\left( {R + h} \right)\).

Cách giải:

Gọi \(O = AC \cap BD\).

Vì \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a \Rightarrow AC = a\sqrt 2 \).

\( \Rightarrow OA = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Do đó hình trụ có bán kính đáy \(R = OA = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\), chiều cao \(h = AA' = a\).

Diện tích toàn phần của hình trụ \(\left( H \right)\) là:

\(\begin{array}{l}{S_{tp}} = 2\pi R\left( {h + R} \right) = 2\pi .\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\left( {a + \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{\sqrt 2 \left( {2 + \sqrt 2 } \right)\pi {a^2}}}{2} = \left( {1 + \sqrt 2 } \right)\pi {a^2}\end{array}\)

Chọn D.

Câu 47 (TH):

Phương pháp:

Hàm đa thức bậc ba \(y = f\left( x \right)\) có hai điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) có hai nghiệm phân biệt.

Cách giải:

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).

Ta có: \(f'\left( x \right) = {x^2} - 2mx + 10m - 25\).

Xét phương trình \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2mx + 10m - 25 = 0\).

Để hàm số ban đầu có hai điểm cực trị thì phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) có hai nghiệm phân biệt.

\(\begin{array}{l}\Delta ' = {m^2} - 10m + 25 > 0\\ \Leftrightarrow {\left( {m - 5} \right)^2} > 0\\ \Leftrightarrow m \ne 5\end{array}\)

Vậy \(m \in \mathbb{R}\backslash \left\{ 5 \right\}\).

Chọn C.

Câu 48 (VD):

Phương pháp:

Đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nhận đường thẳng \(y = {y_0}\) là TCN nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = {y_0},\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = {y_0}\).

Đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nhận đường thẳng \(x = {x_0}\) là TCĐ nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } y =  + \infty ,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } y =  - \infty ,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } y =  + \infty ,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } y =  - \infty \).

Cách giải:

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 10 \ge 0\\20 - x \ge 0\\x > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 10\\x \le 20\\x > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 10 \le x \le 20\).

\( \Rightarrow \) Tập xác định \(D = \left[ {10;20} \right] \Rightarrow \) Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

Xét phương trình mẫu số \(\sqrt x  = 0 \Leftrightarrow x = 0 \notin D \Rightarrow \) Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.

Chọn D.

Câu 49 (VD):

Phương pháp:

Phân chia các khối đa diện.

Cách giải:

\( \Rightarrow {V_{A.A'B'C'}} = \dfrac{1}{6}V\).

Chứng minh tương tự ta có: \({V_{A.A'B'D'}} = {V_{C.B'C'D'}} = {V_{D.ACD'}} = {V_{B'.ABC}} = \dfrac{1}{6}V\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}{V_{ABCD.A'B'C'D'}} = {V_{A.A'B'D'}} + {V_{C.B'C'D'}} + {V_{D.ACD'}} + {V_{B'.ABC}} + {V_{ACB'D'}}\\ \Rightarrow V = \dfrac{1}{6}V + \dfrac{1}{6}V + \dfrac{1}{6}V + \dfrac{1}{6}V + {V_{ACB'D'}}\\ \Rightarrow {V_{ACB'D'}} = V - 4.\dfrac{1}{6}V = \dfrac{1}{3}V\end{array}\)

Chọn C.

Câu 50 (VD):

Phương pháp:

Đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left( {a;b} \right)\) khi và chỉ khi \(f'\left( x \right) \le 0\,\,\forall x \in \left( {a;b} \right)\) và bằng 0 tại hữu hạn điểm.

Cách giải:

Dựa vào đồ thị hàm số ta có \(f'\left( x \right) \le 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - \infty ;0} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)\).

Suy ra hàm số đã cho nghịch biến trên \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\).

Ta thấy \(\left( { - \dfrac{1}{2};0} \right) \subset \left( { - \infty ;0} \right)\), do đó hàm số nghịch biến trên \(\left( { - \dfrac{1}{2};0} \right)\).

Chọn C.

  Loigaiihay.com