Bài 1.6 trang 12 SBT hình học 12


Đề bài

Tính \(\sin \) của góc tạo bởi hai mặt kề nhau (tức là hai mặt có một cạnh chung) của một tứ diện đều.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng lý thuyết:

Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai đường thẳng cùng vuông góc với giao tuyến.

Lời giải chi tiết

Xét tứ diện đều \(ABCD\) cạnh bằng \(a\). Gọi \(M\) và \(N\) theo thứ tự là trung điểm của \(AB\) và \(CD\).

Khi đó \(DM \bot AB,CM \bot AB\) (trung tuyến trong tam giác đều cùng là đường cao)

Ta có: 

\(\left\{ \begin{array}{l}
\left( {DAB} \right) \cap \left( {CAB} \right) = AB\\
DM \bot AB\\
CM \bot AB
\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \) góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {CAB} \right)\) và \(\left( {DAB} \right)\) bằng góc giữa DM và CM và là góc \(\widehat {CMD}\).

Xét tam giác DAM vuông tại M có \(DA = a,\widehat {DAM} = {60^0}\) \( \Rightarrow DM = DA\sin {60^0} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Ta có: \(\Delta DAB = \Delta CAB \Rightarrow DM = CM= \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \)

Tam giác DMC cân tại M có N là trung điểm CD nên MN vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao.

Do đó \(MN \bot CD\)

Xét tam giác CMN vuông tại N có \(CM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2},CN = \dfrac{a}{2}\)

\(\Rightarrow  \sin \widehat {CMN} = \frac{{CN}}{{CM}}= \dfrac{{\dfrac{a}{2}}}{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\)

\( \Rightarrow \cos \widehat {CMN}  = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)}^2}} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}\)

Từ đó suy ra: \(\sin \widehat {CMD} = 2\sin \widehat {CMN}\cos \widehat {CMN}\)\( = 2.\dfrac{1}{{\sqrt 3 }}.\dfrac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{{2\sqrt 2 }}{3}\).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
  • Bài 1.7 trang 12 SBT hình học 12

    Giải bài 1.7 trang 12 sách bài tập hình học 12. Cho ba đoạn thẳng bằng nhau, đôi một vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm của chúng. Chứng minh rằng các đầu mút của ba đoạn thẳng ấy là các đỉnh của một hình bát diện đều.

  • Bài 1.8 trang 12 SBT hình học 12

    Giải bài 1.8 trang 12 sách bài tập hình học 12. Cho một khối bát diện đều. Hãy chỉ ra một mặt phẳng đối xứng, một tâm đối xứng và một trục đối xứng của nó.

  • Bài 1.9 trang 12 SBT hình học 12

    Giải bài 1.9 trang 12 sách bài tập hình học 12. Cho khối bát diện đều ABCDEF (hình vẽ). Gọi O là giao điểm của AC và BD, M và N theo thứ tự là trung điểm của AB và AE. Tính diện tích thiết diện tạo bởi khối bát diện đó và mặt phẳng (OMN).

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2022 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.