Bài 1.6 trang 12 SBT hình học 12


Giải bài 1.6 trang 12 sách bài tập hình học 12. Tính sin của góc tạo bởi hai mặt kề nhau (tức là hai mặt có một cạnh chung) của một tứ diện đều.

Đề bài

Tính \(\sin \) của góc tạo bởi hai mặt kề nhau (tức là hai mặt có một cạnh chung) của một tứ diện đều.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng lý thuyết:

Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai đường thẳng cùng vuông góc với giao tuyến.

Lời giải chi tiết

Xét tứ diện đều \(ABCD\) cạnh bằng \(a\). Gọi \(M\) và \(N\) theo thứ tự là trung điểm của \(AB\) và \(CD\).

Khi đó \(DM \bot AB,CM \bot AB\) (trung tuyến trong tam giác đều cùng là đường cao)

Ta có: 

\(\left\{ \begin{array}{l}
\left( {DAB} \right) \cap \left( {CAB} \right) = AB\\
DM \bot AB\\
CM \bot AB
\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \) góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {CAB} \right)\) và \(\left( {DAB} \right)\) bằng góc giữa DM và CM và là góc \(\widehat {CMD}\).

Xét tam giác DAM vuông tại M có \(DA = a,\widehat {DAM} = {60^0}\) \( \Rightarrow DM = DA\sin {60^0} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Ta có: \(\Delta DAB = \Delta CAB \Rightarrow DM = CM= \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \)

Tam giác DMC cân tại M có N là trung điểm CD nên MN vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao.

Do đó \(MN \bot CD\)

Xét tam giác CMN vuông tại N có \(CM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2},CN = \dfrac{a}{2}\)

\(\Rightarrow  \sin \widehat {CMN} = \frac{{CN}}{{CM}}= \dfrac{{\dfrac{a}{2}}}{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\)

\( \Rightarrow \cos \widehat {CMN}  = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)}^2}} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}\)

Từ đó suy ra: \(\sin \widehat {CMD} = 2\sin \widehat {CMN}\cos \widehat {CMN}\)\( = 2.\dfrac{1}{{\sqrt 3 }}.\dfrac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{{2\sqrt 2 }}{3}\).

Loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài