Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Đề số 2 - Chương III - Hình học 12

Đề bài

Câu 1: Trong không gian $Oxyz$ cho ba vectơ $\overrightarrow a  = \left( {3; - 2;4} \right),$$\mathop b\limits^ \to   = \left( {5;1;6} \right)$, $\mathop c\limits^ \to   = \left( { - 3;0;2} \right)$. Tìm vectơ $\overrightarrow x$ sao cho vectơ  $\overrightarrow x$ đồng thời vuông góc với $\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c$

A. $\left( {1;0;0} \right).$       B. $\left( {0;0;1} \right).$      

C. $\left( {0;1;0} \right).$       D. $\left( {0;0;0} \right).$

Câu 2: Trong không gian$Oxyz$, cho 2 điểm $B(1;2; - 3)$,$C(7;4; - 2)$. Nếu $E$ là điểm thỏa mãn đẳng thức $\overrightarrow {CE}  = 2\overrightarrow {EB}$ thì tọa độ điểm $E$ là

A. $\left( {3;\dfrac{8}{3}; - \dfrac{8}{3}} \right).$    B. $\left( {3;\dfrac{8}{3};\dfrac{8}{3}} \right).$       C. $\left( {3;3; - \dfrac{8}{3}} \right).$      D. $\left( {1;2;\dfrac{1}{3}} \right).$

Câu 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $A(1;2; - 1)$, $B(2; - 1;3)$,$C( - 2;3;3)$. Điểm$M\left( {a;b;c} \right)$ là đỉnh thứ tư của hình bình hành $ABCM$, khi đó $P = {a^2} + {b^2} - {c^2}$ có giá trị bằng

A.$43.$.          B. $44.$.        

C. $42.$.         D. $45.$

Câu 4: Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$cho ba điểm $A(1;2; - 1)$, $B(2; - 1;3)$,$C( - 2;3;3)$. Tìm tọa độ điểm$D$ là chân đường phân giác trong góc $A$ của tam giác$ABC$

A. $D(0;1;3)$.            B. $D(0;3;1)$.            C. $D(0; - 3;1)$.         D. $D(0;3; - 1)$.

Câu 5: Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho các điểm: A(-1,3,5), B(-4,3,2), C(0,2,1). Tìm tọa độ điểm $I$ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$

A. $I(\dfrac{8}{3};\dfrac{5}{3};\dfrac{8}{3})$.       B. $I(\dfrac{5}{3};\dfrac{8}{3};\dfrac{8}{3})$.

C. $I( - \dfrac{5}{3};\dfrac{8}{3};\dfrac{8}{3}).$    D. $I(\dfrac{8}{3};\dfrac{8}{3};\dfrac{5}{3})$.

Câu 6: Trong không gian $Oxyz$, cho 3 vectơ  . Cho hình hộp $OABC.O'A'B'C'$ thỏa mãn điều kiện . Thể tích của hình hộp nói trên bằng:

A. $\dfrac{1}{3}$                   B. 4  

C. $\dfrac{2}{3}$                   D. 2

Câu 7: Trong không gian với hệ trục $Oxyz$ cho tọa độ 4 điểm A(2;-1;1), B(1;0;0), C(3,1,0), D(0;2;1). Cho các mệnh đề sau:

1) Độ dài $AB = \sqrt 2$.

2) Tam giác $BCD$  vuông tại $B$.

3) Thể tích của tứ diện $ABCD$  bằng $6$.

Các mệnh đề đúng là:

A. 2).               B. 3).

C. 1); 3).         D. 2), 1)

Câu 8: Trong không gian$Oxyz$, cho ba vectơ $\overrightarrow a  = \left( { - 1,1,0} \right);\overrightarrow b  = (1,1,0);\overrightarrow c  = \left( {1,1,1} \right)$. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng:

A. $\cos \left( {\overrightarrow b ,\overrightarrow c } \right) = \dfrac{{\sqrt 6 }}{3}.$    

B. $\overrightarrow a  + \overrightarrow b  + \overrightarrow c  = \overrightarrow 0 .$                      

A. $\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c$ đồng phẳng.        

D. $\overrightarrow a .\overrightarrow b  = 1.$

Câu 9: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho tứ diện $ABCD$, biết $A(1;0;1)$,$B( - 1;1;2)$, $C( - 1;1;0)$, $D(2; - 1; - 2)$. Độ dài đường cao $AH$của tứ diện $ABCD$ bằng:

A. $\dfrac{2}{{\sqrt {13} }}.$     B. $\dfrac{1}{{\sqrt {13} }}.$

C. $\dfrac{{\sqrt {13} }}{2}.$     D. $\dfrac{{3\sqrt {13} }}{{13}}.$

Câu 10: Cho hình chóp tam giác $S.ABC$ với $I$ là trọng tâm của đáy $ABC$. Đẳng thức nào sau đây là đẳng thức đúng

A. $\overrightarrow {SI}  = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SC} } \right).$          

B. $\overrightarrow {SI}  = \dfrac{1}{3}\left( {\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SC} } \right).$          

C. $\overrightarrow {SI}  = \overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SC} .$            

D. $\overrightarrow {SI}  + \overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SC}  = \overrightarrow 0 .$

Câu 11: Phương trình mặt cầu tâm $I\left( {2;4;6} \right)$ nào sau đây tiếp xúc với trục Ox:

A. ${\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + {\left( {z - 6} \right)^2} = 20.$

B. ${\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + {\left( {z - 6} \right)^2} = 40.$

C. ${\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + {\left( {z - 6} \right)^2} = 52.$

D. ${\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + {\left( {z - 6} \right)^2} = 56.$

Câu 12: Mặt cầu tâm $I\left( {2;4;6} \right)$ tiếp xúc với trục Oz có phương trình:

A. ${\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + {\left( {z - 6} \right)^2} = 20.$

B. ${\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + {\left( {z - 6} \right)^2} = 40.$

C. ${\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + {\left( {z - 6} \right)^2} = 52.$

D. ${\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + {\left( {z - 6} \right)^2} = 56.$

Câu 13: Cho mặt cầu $\left( S \right)$: ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 9$. Phương trình mặt cầu nào sau đây là phương trình của mặt cầu đối xứng với mặt cầu (S) qua mặt phẳng (Oxy):

A. ${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 9.$

B. ${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 9.$

C. ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 9.$

D. ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 9.$

Câu 14: Cho mặt cầu $\left( S \right)$: ${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 4$. Phương trình mặt cầu nào sau đây là phương trình mặt cầu đối xứng với mặt cầu (S) qua trục Oz:

A. ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 4.$

B. ${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 4.$

C. ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 4.$

D. ${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 4.$

Câu 15: Đường tròn giao tuyến của $\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 16$ khi cắt bởi mặt phẳng (Oxy) có chu vi bằng:

A. $\sqrt 7 \pi .$         B. $2\sqrt 7 \pi .$       

C. $7\pi .$                   D. $14\pi .$

Câu 16: Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$,tọa độ điểm $M$ nằm trên trục $Oy$ và cách đều hai mặt phẳng: $\left( P \right):x + y - z + 1 = 0$ và $\left( Q \right):x - y + z - 5 = 0$ là:

A.$M\left( {0; - 3;0} \right)$.             B.$M\left( {0;3;0} \right)$.   

C.$M\left( {0; - 2;0} \right)$.             D. $M\left( {0;1;0} \right)$.

Câu 17: Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, gọi $\left( \alpha  \right)$ là mặt phẳng qua $G\left( {1;2;3} \right)$ và cắt các trục $Ox,Oy,Oz$ lần lượt tại các điểm $A,B,C$ (khác gốc $O$) sao cho $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$. Khi đó mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ có phương trình:

A.$3x + 6y + 2z + 18 = 0$.

B.$6x + 3y + 2z - 18 = 0$.

C.$2x + y + 3z - 9 = 0$.

D.$6x + 3y + 2z + 9 = 0$.

Câu 18: Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, gọi $\left( \alpha  \right)$là mặt phẳng song song với mặt phẳng $\left( \beta  \right):2x - 4y + 4z + 3 = 0$ và cách điểm $A\left( {2; - 3;4} \right)$ một khoảng $k = 3$. Phương trình của mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ là:

A.$2x - 4y + 4z - 5 = 0$ hoặc $2x - 4y + 4z - 13 = 0$.

B. $x - 2y + 2z - 25 = 0$.

C.$x - 2y + 2z - 7 = 0$.

D.$x - 2y + 2z - 25 = 0$ hoặc $x - 2y + 2z - 7 = 0$.

Câu 19: Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$,cho hai đường thẳng ${d_1},{d_2}$lần lượt có phương trình ${d_1}:\dfrac{{x - 2}}{2} = \dfrac{{y - 2}}{1} = \dfrac{{z - 3}}{3}$, ${d_2}:\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y - 2}}{{ - 1}} = \dfrac{{z - 1}}{4}$. Phương trình mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ cách đều hai đường thẳng ${d_1},{d_2}$ là:

A.$7x - 2y - 4z = 0$. 

B.$7x - 2y - 4z + 3 = 0$.

C. $2x + y + 3z + 3 = 0$.      

D.$14x - 4y - 8z + 3 = 0$.

Câu 20: Trong không gian ${\left( {x + 4} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z + 6} \right)^2} = 18.$, cho mặt phẳng ${\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 6} \right)^2} = 9.$: ${\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 6} \right)^2} = 16.$ và đường thẳng $d$:$N( - 5;7;0)$. Với giá trị nào của $\vec u = (2; - 2;1)$thì $\overrightarrow {MN}  = ( - 9;6; - 6)$cắt $H$

A.$\left( S \right)$.                 

B.$\left( S \right)$ .  

C.${R^2} = M{H^2} + {\left( {\dfrac{{AB}}{2}} \right)^2} = 18$ .

D.$d(M,d) = 3$.

Lời giải chi tiết

Câu 1:

Dễ thấy chỉ có $\overrightarrow x  = (0;0;0)$thỏa mãn $\overrightarrow x .\overrightarrow a  = \overrightarrow x .\overrightarrow b  = \overrightarrow x .\overrightarrow c  = 0.$

Câu 2:

$E(x;y;z)$, từ $\overrightarrow {CE}  = 2\overrightarrow {EB}  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = \dfrac{8}{3}\\z =  - \dfrac{8}{3}\end{array} \right..$

Câu 3:

$M(x;y;z)$, $ABCM$ là hình bình hành thì

$\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {BC}  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 =  - 2 - 2\\y - 2 = 3 + 1\\z + 1 = 3 - 3\end{array} \right.$

$\Rightarrow M( - 3;6; - 1) \Rightarrow P = 44.$.

Câu 4: Ta có $AB = \sqrt {26} ,AC = \sqrt {26}  \Rightarrow$ tam giác $ABC$cân ở $A$ nên $D$ là trung điểm $BC$ $\Rightarrow D(0;1;3).$

Câu 5: Ta có: Tam giác đều. Do đó tâm $I$ của đường tròn ngoại tiếp là trọng tâm của nó. Kết luận: $I\left( { - \dfrac{5}{3};\dfrac{8}{3};\dfrac{8}{3}} \right)$

Câu 6:

$\begin{array}{l} \overrightarrow {OA} = \overrightarrow a \Rightarrow A\left( { - 1;1;0} \right),\\ \overrightarrow {OB} = \overrightarrow b \Rightarrow B\left( {1;1;0} \right),\\ \overrightarrow {OC'} = \overrightarrow c \Rightarrow C'\left( {1;1;1} \right). \end{array}$

$\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {OC}  \Rightarrow C(2;0;0)$$\Rightarrow \overrightarrow {CC'}  = ( - 1;1;1) = \overrightarrow {OO'}$ $\Rightarrow {V_{OABC.O'A'B'C'}} = \left| {\left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right]\overrightarrow {OO'} } \right|$

Câu 8: $\cos (\overrightarrow b ,\overrightarrow c ) = \dfrac{{\overrightarrow b .\overrightarrow c }}{{\left| {\overrightarrow b } \right|.\left| {\overrightarrow c } \right|}}$

Câu 9:

Sử dụng công thức $h = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right|}} = \dfrac{1}{{\sqrt {13} }}.$

Câu 10:

$\left. \begin{array}{l}\overrightarrow {SI}  = \overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {AI} \\\overrightarrow {SI}  = \overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {BI} \\\overrightarrow {SI}  = \overrightarrow {SC}  + \overrightarrow {CI} \end{array} \right\}\\ \Rightarrow 3\overrightarrow {SI}  = \overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SB}  + \left( {\overrightarrow {AI}  + \overrightarrow {BI}  + \overrightarrow {CI} } \right)$

Vì I là trọng tâm tam giác $ABC \Rightarrow \overrightarrow {AI}  + \overrightarrow {BI}  + \overrightarrow {CI}  = \overrightarrow 0$

$\Rightarrow \overrightarrow {SI}  = \dfrac{1}{3}\left( {\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SC} } \right).$

Câu 11: Mặt cầu tâm $I\left( {2;4;6} \right)$, bán kính R và tiếp xúc trục Ox$\Leftrightarrow R = d\left( {I;Ox} \right)$

$\Leftrightarrow R = \sqrt {y_I^2 + z_I^2}  = \sqrt {52}$. Vậy $\left( S \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + {\left( {z - 6} \right)^2} = 52.$

Lựa chọn đáp án C.

Câu 12:

Mặt cầu tâm $I\left( {2;4;6} \right)$, bán kính R và tiếp xúc trục Ox$\Leftrightarrow R = d\left( {I;Oz} \right)$

$\Leftrightarrow R = \sqrt {x_I^2 + y_I^2}  = \sqrt {20}$. Vậy $\left( S \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + {\left( {z - 6} \right)^2} = 20.$

Lựa chọn đáp án A.

Câu 13:

Mặt cầu $\left( S \right)$ tâm $I\left( {1;2;3} \right)$, bán kính $R = 3$. Do mặt cầu $\left( {S'} \right)$ đối xứng với $\left( S \right)$ qua mặt phẳng (Oxy)  nên tâm I' của $\left( {S'} \right)$ đối xứng với I qua (Oxy), bán kính $R' = R = 3$.

Ta có : $I'\left( {1;2; - 3} \right)$. Vậy $\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 9.$

Lựa chọn đáp án D.

Lưu ý: Để ý thấy rằng trung điểm $II'$ thuộc mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ và $\overrightarrow {II'}  \bot \left( {Oxy} \right)$. Cả 4 đáp án trên đều có thể dễ dàng tìm được tọa độ $I'$ nên nếu tinh ý ta sẽ tiết kiệm được thời gian hơn trong việc tìm đáp án.

Câu 14:

Mặt cầu $\left( S \right)$ tâm $I\left( { - 1;1;2} \right)$, bán kính $R = 2$. Do mặt cầu $\left( {S'} \right)$ đối xứng với $\left( S \right)$ qua trục Oz nên tâm I' của $\left( {S'} \right)$ đối xứng với I qua trục Oz, bán kính $R' = R = 2$.

Ta có : $I'\left( {1; - 1;2} \right)$. Vậy $\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 4.$

Lựa chọn đáp án A.

Câu 15:

Mặt cầu $\left( S \right)$ tâm $I\left( {1;2;3} \right)$, bán kính $R = 4$. Ta có : $d\left( {I;\left( {Oxy} \right)} \right) = \left| {{z_I}} \right| = 3$.

Gọi $r$ là bán kính đường tròn (C) giao tuyến của mặt cầu $\left( S \right)$ và mặt phẳng (Oxy), ta suy ra :

$r = \sqrt {{R^2} - {{\left[ {d\left( {I;\left( {Oxy} \right)} \right)} \right]}^2}}  = \sqrt 7$. Vậy chu vi (C)  bằng : $2\sqrt 7 \pi$.

Lựa chọn đáp án B.

Câu 16:

Ta có $M \in Oy \Rightarrow M\left( {0;m;0} \right)$

Giả thiết có $d\left( {M,\left( P \right)} \right) = d\left( {M,\left( Q \right)} \right)$$\Leftrightarrow \dfrac{{\left| {m + 1} \right|}}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{{\left| { - m - 5} \right|}}{{\sqrt 3 }}$$\Leftrightarrow m =  - 3$

Vậy $M\left( {0; - 3;0} \right)$

Câu 17:

Gọi , ,  là giao điểm của mặt phẳng  các trục

Phương trình mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ :$\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} + \dfrac{z}{c} = 1$ $\left( {a,b,c \ne 0} \right)$ .

Ta có $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$        $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{a}{3} = 1\\\dfrac{b}{3} = 2\\\dfrac{c}{3} = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 6\\c = 9\end{array} \right.$$\Rightarrow \left( \alpha  \right):\dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{6} + \dfrac{z}{9} = 1 \Leftrightarrow 6x + 3y + 2z - 18 = 0$

Câu 18:

Vì $\left( \alpha  \right)//\left( \beta  \right)$$\Rightarrow \left( \alpha  \right):2x - 4y + 4z + m = 0$$\left( {m \ne 3} \right)$

Giả thiết có $d\left( {A,\left( \alpha  \right)} \right) = 3$$\Leftrightarrow \dfrac{{\left| {32 + m} \right|}}{6} = 3$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m =  - 14\\m =  - 50\end{array} \right.$

Vậy $\left( \alpha  \right):x - 2y + 2z - 7 = 0$, $\left( \alpha  \right):x - 2y + 2z - 25 = 0$

Câu 19:

Ta có ${d_1}$ đi qua $A\left( {2;2;3} \right)$ và có $\overrightarrow {{u_{{d_1}}}}  = \left( {2;1;3} \right)$, ${d_2}$ đi qua $B\left( {1;2;1} \right)$ và có $\overrightarrow {{u_{{d_2}}}}  = \left( {2; - 1;4} \right)$

$\overrightarrow {AB}= \left( { - 1;1; - 2} \right);\left[ {\overrightarrow {{u_{{d_1}}}}; \overrightarrow {{u_{{d_2}}}} } \right] = \left( {7; - 2; - 4} \right)$

$\Rightarrow \left[ {\overrightarrow {{u_{{d_1}}}}; \)\(\overrightarrow {{u_{{d_2}}}}} \right]\overrightarrow {AB}=  - 1 \ne 0$ nên ${d_1},{d_2}$ chéo nhau.

Do $\left( \alpha  \right)$ cách đều ${d_1},{d_2}$ nên $\left( \alpha  \right)$ song song với ${d_1},{d_2}$$\Rightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }}  = \left[ {\overrightarrow {{u_{{d_1}}}} ;\overrightarrow {{u_{{d_2}}}} } \right] = \left( {7; - 2; - 4} \right)$

$\Rightarrow \left( \alpha  \right)$ có dạng $7x - 2y - 4z + d = 0$

Theo giả thiết thì $d\left( {A,\left( \alpha  \right)} \right) = d\left( {B,\left( \alpha  \right)} \right)$$\Leftrightarrow \dfrac{{\left| {d - 2} \right|}}{{\sqrt {69} }} = \dfrac{{\left| {d - 1} \right|}}{{\sqrt {69} }} \Leftrightarrow d = \dfrac{3}{2}$

$\Rightarrow \left( \alpha  \right):14x - 4y - 8z + 3 = 0$

Câu 20:${\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 6} \right)^2} = 18.$ có VTPT $Oxyz$

${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 6z - 11 = 0$ có VTCP $(P)$

$2x + 2y - z - 7 = 0$cắt $(Q)$

Chọn đáp án D.

Loigiaihay.com