Bài 41 trang 106 SBT Hình học 10 Nâng cao

Giải bài tập Bài 41 trang 106 SBT Hình học 10 Nâng cao

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho đường thẳng \(\Delta _m\): \((m-2)x+(m-1)y+2m-1=0\) và hai điểm \(A(2 ; 3), B(1 ; 0).\)

LG a

Chứng minh rằng \(\Delta_m \) luôn đi qua một điểm cố định với mọi \(m;\)

Lời giải chi tiết:

\({\Delta _m}\) luôn đi qua điểm cố định \(M(x_0 ; y_0)\) với mọi \(m\) khi và chỉ khi

\(\begin{array}{l}(m - 2){x_0} + (m - 1){y_0} + 2m - 1 = 0 \,\,\,\,\,\forall m\\ \Leftrightarrow ({x_0} + {y_0} + 2)m - 2{x_0} - {y_0} - 1 = 0 \,\,\,\,\, \forall m\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} + {y_0} + 2 = 0\\ - 2{x_0} - {y_0} - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 1\\{y_0} = - 3.\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \({\Delta _m}\) luôn đi qua điểm cố định \(M(1 ; -3)\) với mọi \(m\).

LG b

Xác định \(m\) để \(\Delta_m \) có ít nhất một điểm chung với đoạn thẳng \(AB;\)

Lời giải chi tiết:

Đặt

\(f(x,y) = (m - 2)x + (m - 1)y + 2m - 1 = 0\)

\({\Delta _m}\) có ít nhất một điểm chung với đoạn \(AB\) \( \Leftrightarrow f({x_A} , {y_A}).f({x_B} , {y_B}) \le 0\)

\( \Leftrightarrow (7m - 8)(3m - 3) \le 0 \)

\( \Leftrightarrow 1 \le m \le \dfrac{8}{7}\).

LG c

Tìm \(m\) để khoảng cách từ điểm \(A\) đến đường thẳng \(\Delta_m \) là lớn nhất.

Lời giải chi tiết:

(h.103).

Dựng \(AH \bot {\Delta _m}\). Ta có \(AH \le AM\) với mọi \(m\) (\(M\) là điểm thuộc \({\Delta _m}\) với mọi \(m\) đã nói ở câu a). Vậy \(AH\) lớn nhất bằng \(AM\) khi và chỉ khi \(H\) trùng với \(M\) hay \(AM \bot {\Delta _m}\).

Ta có : \(\overrightarrow {AM} = ( - 1 ; - 6), {\Delta _m}\) có vec tơ chỉ phương \(\overrightarrow u (1 - m ; m - 2)\).

\(AM \bot {D_m} \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} .\overrightarrow u = 0 \)

\( \Leftrightarrow - 1(1 - m) - 6(m - 2) = 0 \)

\( \Leftrightarrow m = \dfrac{{11}}{5}\).

Vậy với \(m = \dfrac{{11}}{5}\) thì khoảng cách từ \(A\) đến \({\Delta _m}\) là lớn nhất.

Loigiaihay.com