Bài 32 trang 105 SBT Hình học 10 Nâng cao

Giải bài tập Bài 32 trang 105 SBT Hình học 10 Nâng cao

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

LG a
LG b

Viết phương trình đường thẳng

LG a

Qua \(A(-2 ; 0)\) và tạo với đường thẳng \(d: x+3y-3=0\) một góc \(45^0\).

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A(-2 ; 0)\) có phương trình:

\(\alpha (x + 2) + \beta y = 0\) hay \(\alpha x + \beta y + 2\alpha = 0 ({\alpha ^2} + {\beta ^2} \ne 0)\).

\(\Delta \) tạo với \(d\) góc \(45^0\)

\(\cos {45^0} = \dfrac{{|\alpha + 3\beta |}}{{\sqrt {{\alpha ^2} + {\beta ^2}} .\sqrt {10} }}\)

\(\Leftrightarrow \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{|\alpha + 3\beta |}}{{\sqrt {{\alpha ^2} + {\beta ^2}} .\sqrt {10} }}\)

\(\begin{array}{l}\Leftrightarrow 5({\alpha ^2} + {\beta ^2}) = {(\alpha + 3\beta )^2}\\\Leftrightarrow 2{\alpha ^2} - 3\alpha \beta - 2{\beta ^2} = 0 \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\alpha = 2\beta \\\alpha = - \dfrac{1}{2}\beta .\end{array} \right.\end{array}\)

Với \(\alpha = 2\beta \), chọn \(\beta = 1, \alpha = 2\) ta được đường thẳng \({\Delta _1}: 2x + y + 4 = 0\).

Với \(\alpha = - \dfrac{1}{2}\beta \), ta chọn \(\beta = - 2, \alpha = 1\), ta được đường thẳng \({\Delta _2}: x - 2y + 2 = 0\).

LG b

Qua \(B(-1 ; 2)\) và tạo với đường thẳng \(d: \left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 3t\\y = - 2t\end{array} \right.\) một góc 60⁰.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(\overrightarrow u (a ; b)\) là vec tơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta \) cần tìm (\({a^2} + {b^2} \ne 0\)). \(d\) có vec tơ chỉ phương \(\overrightarrow v = (3 ; - 2)\).

\(\Delta \) tạo với d góc 60⁰ khi và chỉ khi

\(\cos {60^0} = \dfrac{{|3a - 2b|}}{{\sqrt {{3^2} + {2^2}} .\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{1}{2} = \dfrac{{|3a - 2b|}}{{\sqrt {13} .\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \\ \Leftrightarrow 13({a^2} + {b^2}) = 4{(3a - 2b)^2}\\ \Leftrightarrow 23{a^2} - 48ab + 3{b^2} = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = \dfrac{{24 - \sqrt {507} }}{{23}}b\\a = \dfrac{{24 + \sqrt {507} }}{{23}}b\end{array} \right.\end{array}\)

Với \(a = \dfrac{{24 - \sqrt {507} }}{{23}}b\), chọn \(b = 1, a = \dfrac{{24 - \sqrt {507} }}{{23}}\), ta được đường thẳng

\({\Delta _1}: \left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + \dfrac{{24 - \sqrt {507} }}{{23}}t\\y = 2 + t\end{array} \right.\)

Với \(a = \dfrac{{24 + \sqrt {507} }}{{23}}b\), ta chọn \(b = 1, a = \dfrac{{24 + \sqrt {507} }}{{23}}\), ta được đường thẳng

\({\Delta _2}: \left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + \dfrac{{24 + \sqrt {507} }}{{23}}t\\y = 2 + t\end{array} \right.\).

Loigiaihay.com