Lý thuyết lũy thừa


Tổng hợp lí thuyết "Lũy thừa" ngắn gọn, dễ hiểu.

I. KHÁI NIỆM LŨY THỪA

1. Lũy thừa với số mũ nguyên

Định nghĩa

Cho \(n\) là một số nguyên dương.

Với \(a\) là một số thực tùy ý, lũy thừa bậc \(n\) của \(a\) là tích của \(n\) thừa số \(a\).

\({a^n} = a.a.a.....a\) (\(n\) thừa số \(a\))

Với \(a \ne 0\) thì \({a^0} = 1,{a^{ - n}} = \dfrac{1}{{{a^n}}}\).

Chú ý

\({0^n}\) và \({0^{ - n}}\) không có nghĩa.

Lũy thừa với số mũ nguyên có các tính chất tương tự của lũy thừa với số mũ nguyên dương.

2. Căn bậc \(n\)

a) Định nghĩa

Cho số thực \(b\) và số nguyên dương \(n\left( {n \ge 2} \right)\). Số \(a\) được gọi là căn bậc \(n\) của số \(b\) nếu \({a^n} = b\).

b) Chú ý

+) Với \(n\) lẻ và \(b \in \mathbb{R}\) thì có duy nhất một căn bậc \(n\) của \(b\), kí hiệu \(\sqrt[n]{b}\).

+) Với \(n\) chẵn và:

\(b < 0\) thì không tồn tại căn bậc \(n\) của \(b\).

\(b = 0\) thì có duy nhất một căn bậc \(n\) của \(b\) là số \(0\).

\(b > 0\) thì có hai căn trái dấu, kí hiệu \(\sqrt[n]{b}\) và \( - \sqrt[n]{b}\).

c) Tính chất

\(\begin{array}{l}\sqrt[n]{a}.\sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{{ab}}\\\dfrac{{\sqrt[n]{a}}}{{\sqrt[n]{b}}} = \sqrt[n]{{\dfrac{a}{b}}}\\{\left( {\sqrt[n]{a}} \right)^m} = \sqrt[n]{{{a^m}}}\\\sqrt[n]{{{a^n}}} = \left\{ \begin{array}{l}a,\,\,\,\,\,\,\,\text{nếu} \,\,n \,\text{lẻ}\\\left| a \right|,\,\,\,\,\text{nếu}\,\,n\,\text{chẵn}\end{array} \right.\\\sqrt[n]{{\sqrt[k]{a}}} = \sqrt[{nk}]{a}\end{array}\)

Ví dụ

\(\sqrt[3]{{ - 4}}.\sqrt[3]{{54}} = \sqrt[3]{{\left( { - 4} \right).54}} = \sqrt[3]{{ - 216}} =  - 6\)

3. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ

Cho số thực \(a\) dương và số hữu tỉ \(r = \dfrac{m}{n}\), trong đó \(m \in \mathbb{Z}\), \(n \in \mathbb{N}\), \(n \ge 2\).

Lũy thừa của số \(a\) với số mũ \(r\) là số \({a^r}\) xác định bởi

\({a^r} = {a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}\)

Đặc biệt:  Khi \(m=1\): \({a^{\frac{1}{n}}} = \sqrt[n]{a}\)

Ví dụ:

\({16^{ - \frac{3}{4}}} = \sqrt[4]{{{{16}^{ - 3}}}} = \dfrac{1}{{\sqrt[4]{{{{16}^3}}}}}\) \( = \dfrac{1}{{{{\left( {\sqrt[4]{{16}}} \right)}^3}}} = \dfrac{1}{{{2^3}}} = \dfrac{1}{8}\)

II. TÍNH CHẤT CỦA LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ THỰC

Cho \(a,b\) là những số thực dương; \(\alpha ,\beta \) là những số thực tùy ý. Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}{a^\alpha }.{a^\beta } = {a^{\alpha  + \beta }}\\\dfrac{{{a^\alpha }}}{{{a^\beta }}} = {a^{\alpha  - \beta }}\\{\left( {{a^\alpha }} \right)^\beta } = {a^{\alpha \beta }}\\{\left( {ab} \right)^\alpha } = {a^\alpha }{b^\alpha }\\{\left( {\dfrac{a}{b}} \right)^\alpha } = \dfrac{{{a^\alpha }}}{{{b^\alpha }}}\end{array}\)

Nếu \(a > 1\) thì \({a^\alpha } > {a^\beta } \Leftrightarrow \alpha  > \beta \).

Nếu \(a < 1\) thì \({a^\alpha } > {a^\beta } \Leftrightarrow \alpha  < \beta \).

Ví dụ: Rút gọn biểu thức: \(A = \dfrac{{{a^{\sqrt 2  + 1}}.{a^{3 - \sqrt 2 }}}}{{{{\left( {{a^{\sqrt 3  - 1}}} \right)}^{\sqrt 3  + 1}}}}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}
A = \dfrac{{{a^{\sqrt 2 + 1}}.{a^{3 - \sqrt 2 }}}}{{{{\left( {{a^{\sqrt 3 - 1}}} \right)}^{\sqrt 3 + 1}}}} = \dfrac{{{a^{\sqrt 2 + 1 + 3 - \sqrt 2 }}}}{{{a^{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}}}}\\
= \dfrac{{{a^4}}}{{{a^{3 - 1}}}} = {a^2}
\end{array}\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.1 trên 8 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2022 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.