Giải bài tập Toán 12 Nâng cao, Toán 12 Nâng cao, đầy đủ giải tích và hình học

Bài 1. Lũy thừa

Lý thuyết lũy thừa

Tổng hợp lí thuyết "Lũy thừa" ngắn gọn, dễ hiểu.

I. KHÁI NIỆM LŨY THỪA

1. Lũy thừa với số mũ nguyên

Định nghĩa

Cho $n$ là một số nguyên dương.

Với $a$ là một số thực tùy ý, lũy thừa bậc $n$ của $a$ là tích của $n$ thừa số $a$ .

${a^n} = a.a.a.....a$ ( $n$ thừa số $a$ )

Với $a \ne 0$ thì ${a^0} = 1,{a^{ - n}} = \dfrac{1}{{{a^n}}}$ .

Chú ý

${0^n}$ và ${0^{ - n}}$ không có nghĩa.

Lũy thừa với số mũ nguyên có các tính chất tương tự của lũy thừa với số mũ nguyên dương.

2. Căn bậc $n$

a) Định nghĩa

Cho số thực $b$ và số nguyên dương $n\left( {n \ge 2} \right)$ . Số $a$ được gọi là căn bậc $n$ của số $b$ nếu ${a^n} = b$ .

b) Chú ý

+) Với $n$ lẻ và $b \in \mathbb{R}$ thì có duy nhất một căn bậc $n$ của $b$ , kí hiệu $\sqrt[n]{b}$ .

+) Với $n$ chẵn và:

$b < 0$ thì không tồn tại căn bậc $n$ của $b$ .

$b = 0$ thì có duy nhất một căn bậc $n$ của $b$ là số $0$ .

$b > 0$ thì có hai căn trái dấu, kí hiệu $\sqrt[n]{b}$ và $- \sqrt[n]{b}$ .

c) Tính chất

$\begin{array}{l}\sqrt[n]{a}.\sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{{ab}}\\\dfrac{{\sqrt[n]{a}}}{{\sqrt[n]{b}}} = \sqrt[n]{{\dfrac{a}{b}}}\\{\left( {\sqrt[n]{a}} \right)^m} = \sqrt[n]{{{a^m}}}\\\sqrt[n]{{{a^n}}} = \left\{ \begin{array}{l}a,\,\,\,\,\,\,\,\text{nếu} \,\,n \,\text{lẻ}\\\left| a \right|,\,\,\,\,\text{nếu}\,\,n\,\text{chẵn}\end{array} \right.\\\sqrt[n]{{\sqrt[k]{a}}} = \sqrt[{nk}]{a}\end{array}$

Ví dụ

$\sqrt[3]{{ - 4}}.\sqrt[3]{{54}} = \sqrt[3]{{\left( { - 4} \right).54}} = \sqrt[3]{{ - 216}} = - 6$

3. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ

Cho số thực $a$ dương và số hữu tỉ $r = \dfrac{m}{n}$ , trong đó $m \in \mathbb{Z}$ , $n \in \mathbb{N}$ , $n \ge 2$ .

Lũy thừa của số $a$ với số mũ $r$ là số ${a^r}$ xác định bởi

${a^r} = {a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}$

Đặc biệt: Khi $m=1$ : ${a^{\frac{1}{n}}} = \sqrt[n]{a}$

Ví dụ:

${16^{ - \frac{3}{4}}} = \sqrt[4]{{{{16}^{ - 3}}}} = \dfrac{1}{{\sqrt[4]{{{{16}^3}}}}}$ $= \dfrac{1}{{{{\left( {\sqrt[4]{{16}}} \right)}^3}}} = \dfrac{1}{{{2^3}}} = \dfrac{1}{8}$

II. TÍNH CHẤT CỦA LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ THỰC

Cho $a,b$ là những số thực dương; $\alpha ,\beta$ là những số thực tùy ý. Khi đó ta có:

$\begin{array}{l}{a^\alpha }.{a^\beta } = {a^{\alpha + \beta }}\\\dfrac{{{a^\alpha }}}{{{a^\beta }}} = {a^{\alpha - \beta }}\\{\left( {{a^\alpha }} \right)^\beta } = {a^{\alpha \beta }}\\{\left( {ab} \right)^\alpha } = {a^\alpha }{b^\alpha }\\{\left( {\dfrac{a}{b}} \right)^\alpha } = \dfrac{{{a^\alpha }}}{{{b^\alpha }}}\end{array}$

Nếu $a > 1$ thì ${a^\alpha } > {a^\beta } \Leftrightarrow \alpha > \beta$ .

Nếu $a < 1$ thì ${a^\alpha } > {a^\beta } \Leftrightarrow \alpha < \beta$ .

Ví dụ: Rút gọn biểu thức: $A = \dfrac{{{a^{\sqrt 2 + 1}}.{a^{3 - \sqrt 2 }}}}{{{{\left( {{a^{\sqrt 3 - 1}}} \right)}^{\sqrt 3 + 1}}}}$

Ta có:

$\begin{array}{l} A = \dfrac{{{a^{\sqrt 2 + 1}}.{a^{3 - \sqrt 2 }}}}{{{{\left( {{a^{\sqrt 3 - 1}}} \right)}^{\sqrt 3 + 1}}}} = \dfrac{{{a^{\sqrt 2 + 1 + 3 - \sqrt 2 }}}}{{{a^{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}}}}\\ = \dfrac{{{a^4}}}{{{a^{3 - 1}}}} = {a^2} \end{array}$

Loigiaihay.com

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.4 trên 11 phiếu

Bài tiếp theo

Trả lời câu hỏi 1 trang 49 SGK Giải tích 12
Tính...
Trả lời câu hỏi 2 trang 50 SGK Giải tích 12
Hãy biện luận theo b số nghiệm của các phương trình...
Trả lời câu hỏi 3 trang 52 SGK Giải tích 12
Chứng minh tính chất...
Trả lời câu hỏi 4 trang 54 SGK Giải tích 12
Hãy nhắc lại các tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên dương....
Trả lời câu hỏi 5 trang 55 SGK Giải tích 12
Rút gọn biểu thức...
Trả lời câu hỏi 6 trang 55 SGK Giải tích 12
So sánh các số...
Giải bài 1 trang 55 SGK Giải tích 12
Tính: a, 9 mũ 2/5 nhân 27 mũ 2/5.
Giải bài 2 trang 55 SGK Giải tích 12
Cho a, b là những số thực dương. Viết các biểu thức dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ:
Giải bài 3 trang 56 SGK Giải tích 12
Viết các số sau theo thứ tự tăng dần
Giải bài 4 trang 56 SGK Giải tích 12
Cho a, b là những số thực dương. Rút gọn các biểu thức sau:
Giải bài 5 trang 56 SGK Giải tích 12
Chứng minh rằng:
Các dạng toán về lũy thừa
Các dạng toán về lũy thừa

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.