Câu 9 trang 110 SGK Đại số 10 nâng cao

Chứng minh rằng:

Đề bài

Chứng minh rằng nếu a ≥ 0 và b ≥ 0 thì: ${{a + b} \over 2}.{{{a^2} + {b^2}} \over 2} \le {{{a^3} + {b^3}} \over 2}$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Biến đổi tương đương đưa về các bđt luôn đúng.

Lời giải chi tiết

Ta có:

$\eqalign{ & {{a + b} \over 2}.{{{a^2} + {b^2}} \over 2} \le {{{a^3} + {b^3}} \over 2}\cr& \Leftrightarrow \left( {a + b} \right)\left( {{a^2} + {b^2}} \right) \le 2\left( {{a^3} + {b^3}} \right)\cr & \Leftrightarrow {a^3} + a{b^2} + {a^2}b + {b^3} \le 2{a^3} + 2{b^3} \cr & \Leftrightarrow {a^3} - a{b^2} - {a^2}b + {b^3} \ge 0 \cr & \Leftrightarrow a\left( {{a^2} - {b^2}} \right) - b\left( {{a^2} - {b^2}} \right) \ge 0\cr &\Leftrightarrow (a - b)({a^2} - {b^2}) \ge 0 \cr & \Leftrightarrow {(a - b)^2}(a + b) \ge 0 \cr}$

Điều suy ra luôn đúng do với a ≥ 0; b ≥ 0 thì (a - b)² ≥ 0, a + b ≥ 0.

Vậy ${{a + b} \over 2}.{{{a^2} + {b^2}} \over 2} \le {{{a^3} + {b^3}} \over 2}$ .

Dấu "=" xảy ra khi

$\left[ \begin{array}{l} {\left( {a - b} \right)^2} = 0\\ a + b = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow a = b$

Loigiaihay.com

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

3.9 trên 9 phiếu

Bài tiếp theo

Câu 10 trang 110 SGK Đại số 10 nâng cao
Chứng minh rằng:
Câu 11 trang 110 SGK Đại số 10 nâng cao
Chứng minh rằng:
Câu 12 trang 110 SGK Đại số 10 nâng cao
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f(x) = (x + 3)(5 – x) với -3 ≤ x ≤ 5
Câu 13 trang 110 SGK Đại số 10 nâng cao
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số sau:
Câu 14 trang 112 SGK Đại số 10 nâng cao
Chứng minh rằng nếu a, b, c là ba số dương thì:
Câu 15 trang 112 SGK Đại số 10 nâng cao
Nếu cái cân đĩa đó không chính xác (do hai cánh tay đòn dài, ngắn khác nhau) nhưng quả cân là đúng 1kg thì khách hàng có mua được đúng 2kg cam hay không? Vì sao?
Câu 16 trang 112 SGK Đại số 10 nâng cao
Chứng minh rằng với mọi số nguyên n, ta có:
Câu 17 trang 112 SGK Đại số 10 nâng cao
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Câu 18 trang 112 SGK Đại số 10 nâng cao
Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, ta có:
Câu 19 trang 112 SGK Đại số 10 nâng cao
Chứng minh rằng nếu a, b, c, d là bốn số không âm thì:
Câu 20 trang 112 SGK Đại số 10 nâng cao
Chứng minh rằng:
Câu 8 trang 110 SGK Đại số 10 nâng cao
Chứng minh rằng:
Câu 7 trang 110 SGK Đại số 10 nâng cao
Chứng minh rằng:
Câu 6 trang 110 SGK Đại số 10 nâng cao
Chứng minh rằng nếu a > 0 và b > 0 thì a3 + b3 ≥ ab(a + b). Khi nào đẳng thức xảy ra?
Câu 5 trang 110 SGK Đại số 10 nâng cao
Chứng minh rằng:
Câu 4 trang 109 SGK Đại số 10 nâng cao
Hãy so sánh các kết quả sau đây:
Giải bài 3 trang 109 SGK Đại số 10 nâng cao
Chứng minh rằng đẳng thức sau xảy ra với mọi các số thực a, b, c.
Câu 2 trang 109 SGK Đại số 10 nâng cao
Chứng minh rằng nửa chu vi của tam giác lớn hơn mỗi cạnh của tam giác đó.
Câu 1 trang 109 SGK Đại số 10 nâng cao
Chứng minh đẳng thức sau:

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 10 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Click để xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.