Giải toán 10, giải bài tập Toán 10 Nâng cao, đầy đủ đại số giải tích và hình học Bài 1: Bất đẳng thức và chứng minh bất đẳng thức

Câu 5 trang 110 SGK Đại số 10 nâng cao


Chứng minh rằng:

Đề bài

Chứng minh rằng, nếu a > 0 và b > 0 thì \({1 \over a} + {1 \over b} \ge {4 \over {a + b}}\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Biến đổi tương đường đưa về một bđt luôn đúng suy ra đpcm.

Lời giải chi tiết

Với \(a > 0, b > 0\), ta có:

\(\eqalign{
& {1 \over a} + {1 \over b} \ge {4 \over {a + b}} \cr &\Leftrightarrow {{a + b} \over {ab}} \ge {4 \over {a + b}} \cr&\Leftrightarrow {(a + b)^2} \ge 4ab \cr 
& \Leftrightarrow {a^2} + 2ab + {b^2} \ge 4ab \cr &\Leftrightarrow {a^2} - 2ab + {b^2} \ge 0\cr &\Leftrightarrow {(a - b)^2} \ge 0 \cr} \)

Ta thấy điều này luôn đúng

Vậy \({1 \over a} + {1 \over b} \ge {4 \over {a + b}}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a = b\).

Cách khác:

Áp dụng bđt Cô si ta có:

\(\begin{array}{l}
\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \ge 2\sqrt {\frac{1}{a}.\frac{1}{b}} = \frac{2}{{\sqrt {ab} }}\\
a + b \ge 2\sqrt {ab} \\
\Rightarrow \left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \right)\left( {a + b} \right)\\
\ge \frac{2}{{\sqrt {ab} }}.2\sqrt {ab} = 4\\
\Rightarrow \left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \right)\left( {a + b} \right) \ge 4\\
\Rightarrow \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \ge \frac{4}{{a + b}}
\end{array}\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.9 trên 10 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 10 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store