Câu 6 trang 110 SGK Đại số 10 nâng cao


Chứng minh rằng nếu a > 0 và b > 0 thì a3 + b3 ≥ ab(a + b). Khi nào đẳng thức xảy ra?

Đề bài

Chứng minh rằng nếu a ≥ 0 và b ≥ 0 thì a3 + b3 ≥  ab(a + b). Khi nào đẳng thức xảy ra?

Lời giải chi tiết

Ta có a3 + b3 ≥ ab(a + b)

⇔ (a+ b).(a2 – ab + b2 ) – ab (a+ b) ≥ 0

⇔ (a + b)(a2 - ab + b2 – ab) ≥ 0

⇔ (a + b)(a2 - 2ab + b2) ≥ 0

⇔ (a + b)(a - b)2 ≥ 0 (*)

Bất đẳng thức (*) luôn đúng vì với a ≥ 0; b ≥ 0 thì a+b ≥ 0 và (a- b)2 ≥ 0

=> Bất đẳng thức a3 + b3 ≥ ab(a + b) luôn đúng với a ≥ 0; b ≥ 0

*Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:

\(\left[ \begin{array}{l}a + b = 0\\{\left( {a - b} \right)^2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b\)

Loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
4.1 trên 11 phiếu

>> Học trực tuyến Lớp 11 trên Tuyensinh247.com, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu


Gửi bài