Câu 18 trang 112 SGK Đại số 10 nâng cao


Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, ta có:

Đề bài

Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, ta có:

(a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Biến đổi tương đương bđt đưa về bđt luôn đúng.

Lời giải chi tiết

Ta có:

(a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2)

⇔ a2 + b2 + c2 +2ab + 2bc + 2ca ≤ 3a2 + 3b2 + 3c2

⇔ 2a2 + 2b2 + 2c2 - 2ab - 2bc - 2ca ≥ 0

⇔ (a2 - 2ab + b2 )+ (b2 - 2bc + c2 )+ (c2 - 2ca + a2 )≥ 0

⇔ (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 ≥ 0   (luôn đúng do (a – b)2 ≥ 0, (b – c)2 ≥ 0, (c – a)2 ≥ 0).

Vậy (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2).

Dấu = xảy ra khi 

\(\left\{ \begin{array}{l}
{\left( {a - b} \right)^2} = 0\\
{\left( {b - c} \right)^2} = 0\\
{\left( {c - a} \right)^2} = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = c\)

Loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
4 trên 4 phiếu

>> Học trực tuyến Lớp 11 trên Tuyensinh247.com, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu


Gửi bài