Câu 8 trang 110 SGK Đại số 10 nâng cao


Đề bài

Chứng minh rằng nếu a, b và c là độ dài ba cạnh một tam giác thì a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng bđt tam giác: Tổng hai cạnh luôn lớn hơn cạnh thứ ba.

Kết hợp tính chất nhân cả hai vế của bđt với một số dương thì bđt không đổi chiều.

Lời giải chi tiết

Do a, b, c là ba cạnh của tam giác nên

\(\eqalign{
& a < b + c \Rightarrow {a^2} < a\left( {b + c} \right) \cr &\Rightarrow {a^2} < ab + ac\,\,\,(1) \cr 
& b < a + c \Rightarrow {b^2} < b(a+c) \cr &\Rightarrow {b^2} <ba + bc\,\,(2) \cr 
& c < a + b \Rightarrow {c^2} < c(a+b)\cr & \Rightarrow {c^2} < ca + cb\,\,\,(3)\cr} \)

Cộng vế với vế của ba bất đẳng thức (1), (2), (3) ta được: \({a^2} + {b^2} + {c^2} < ab + ac + ba + bc + ca + cb\) \(\Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} < 2\left( {ab + bc + ca} \right)\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4 trên 6 phiếu

>> Học trực tuyến Lớp 10 tại Tuyensinh247.com, Cam kết giúp học sinh học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.