Giải toán 10, giải bài tập Toán 10 Nâng cao, đầy đủ đại số giải tích và hình học

Bài 1: Bất đẳng thức và chứng minh bất đẳng thức

Câu 20 trang 112 SGK Đại số 10 nâng cao

Chứng minh rằng:

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

LG a
LG b

Chứng minh rằng:

LG a

Nếu x² + y² = 1 thì $|x + y|\,\, \le \sqrt 2$

Phương pháp giải:

Áp dụng bđt 2xy ≤ x² + y²

Lời giải chi tiết:

Cách 1: Ta có: ${\left( {x - y} \right)^2} \ge 0$ $\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2xy \ge 0$ $\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} \ge 2xy$

Khi đó: (x + y)² = x² + y² + 2xy

≤ x² + y² + x²+ y² = 2

⇒ $|x + y|\,\, \le \sqrt 2$

Dấu = xảy ra khi

$\left\{ \begin{array}{l} x = y\\ {x^2} + {y^2} = 1 \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = y\\ 2{x^2} = 1 \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow x = y = \pm \frac{1}{{\sqrt 2 }}$

Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức bu- nhi-a-cốp-xki cho hai bộ số (1; 1) và (x, y) ta được:

$\eqalign{ & {(x + y)^2} = {(x.1 + y.1)^2} \cr &\le ({x^2} + {y^2})({1^2} + {1^2}) = 2 \cr & \Rightarrow |x + y| \le \sqrt 2 \cr}$

LG b

Nếu 4x – 3y = 15 thì x² + y² ≥ 9

Phương pháp giải:

Áp dụng bđt Bunhia:

${\left( {ax + by} \right)^2} \le \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)$

Lời giải chi tiết:

Áp dụng bất đẳng thức Bu- nhi-a – cốp- xki cho bộ hai số (4; -3) và ( x; y) ta được:

$\begin{array}{l}{\left( {4x - 3y} \right)^2} \le \left[ {{4^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} \right]\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\\ \Leftrightarrow {15^2} \le 25\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\\ \Leftrightarrow 9 \le {x^2} + {y^2}\\ \Rightarrow {x^2} + {y^2} \ge 9\end{array}$

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

$\left\{ \begin{array}{l} \frac{x}{4} = \frac{y}{{ - 3}}\\ 4x - 3y = 15 \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{12}}{5}\\y = - \frac{9}{5}\end{array} \right.$

Cách khác:

Vì 4x – 3y = 15 $\Rightarrow y = {4 \over 3}x - 5$

Do đó:

$\eqalign{ & {x^2} + {y^2} = {x^2} + {({4 \over 3}x - 5)^2} \cr&= {x^2} + {{16} \over 9}{x^2} - {{40} \over 3}x + 25 \cr & ={{25} \over 9}{x^2} - {{40} \over 3}x + 25 \cr &= {({5 \over 3}x - 4)^2} + 9 \ge 9 \cr}$

Loigiaihay.com

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.4 trên 13 phiếu

Bài tiếp theo

Câu 19 trang 112 SGK Đại số 10 nâng cao
Chứng minh rằng nếu a, b, c, d là bốn số không âm thì:
Câu 18 trang 112 SGK Đại số 10 nâng cao
Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, ta có:
Câu 17 trang 112 SGK Đại số 10 nâng cao
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Câu 16 trang 112 SGK Đại số 10 nâng cao
Chứng minh rằng với mọi số nguyên n, ta có:
Câu 15 trang 112 SGK Đại số 10 nâng cao
Nếu cái cân đĩa đó không chính xác (do hai cánh tay đòn dài, ngắn khác nhau) nhưng quả cân là đúng 1kg thì khách hàng có mua được đúng 2kg cam hay không? Vì sao?
Câu 14 trang 112 SGK Đại số 10 nâng cao
Chứng minh rằng nếu a, b, c là ba số dương thì:
Câu 13 trang 110 SGK Đại số 10 nâng cao
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số sau:
Câu 12 trang 110 SGK Đại số 10 nâng cao
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f(x) = (x + 3)(5 – x) với -3 ≤ x ≤ 5
Câu 11 trang 110 SGK Đại số 10 nâng cao
Chứng minh rằng:
Câu 10 trang 110 SGK Đại số 10 nâng cao
Chứng minh rằng:
Câu 9 trang 110 SGK Đại số 10 nâng cao
Chứng minh rằng:
Câu 8 trang 110 SGK Đại số 10 nâng cao
Chứng minh rằng:
Câu 7 trang 110 SGK Đại số 10 nâng cao
Chứng minh rằng:
Câu 6 trang 110 SGK Đại số 10 nâng cao
Chứng minh rằng nếu a > 0 và b > 0 thì a3 + b3 ≥ ab(a + b). Khi nào đẳng thức xảy ra?
Câu 5 trang 110 SGK Đại số 10 nâng cao
Chứng minh rằng:
Câu 4 trang 109 SGK Đại số 10 nâng cao
Hãy so sánh các kết quả sau đây:
Giải bài 3 trang 109 SGK Đại số 10 nâng cao
Chứng minh rằng đẳng thức sau xảy ra với mọi các số thực a, b, c.
Câu 2 trang 109 SGK Đại số 10 nâng cao
Chứng minh rằng nửa chu vi của tam giác lớn hơn mỗi cạnh của tam giác đó.
Câu 1 trang 109 SGK Đại số 10 nâng cao
Chứng minh đẳng thức sau:

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 10 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.