Câu 6.58 trang 206 SBT Đại số 10 Nâng cao


Giải bài tập Câu 6.58 trang 206 SBT Đại số 10 Nâng cao

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Chứng minh:

LG a

\(\sin \dfrac{{2\pi }}{7} + \sin \dfrac{{4\pi }}{7} + \sin \dfrac{{6\pi }}{7} = \dfrac{1}{2}\cot \dfrac{\pi }{{14}};\)

Lời giải chi tiết:

Ta có

\(\begin{array}{l}\sin \dfrac{{2\pi }}{7}\sin \dfrac{\pi }{7} = \dfrac{1}{2}\left( {\cos \dfrac{\pi }{7} - \cos \dfrac{{3\pi }}{7}} \right),\\\sin \dfrac{{4\pi }}{7}\sin \dfrac{\pi }{7} = \dfrac{1}{2}\left( {\cos \dfrac{{3\pi }}{7} - \cos \dfrac{{5\pi }}{7}} \right),\\\sin \dfrac{{6\pi }}{7}\sin \dfrac{\pi }{7} = \dfrac{1}{2}\left( {\cos \dfrac{{5\pi }}{7} - \cos \pi } \right)\end{array}\)

Từ đó

\(\begin{array}{l}\left( {\sin \dfrac{{2\pi }}{7} + \sin \dfrac{{4\pi }}{7} + \sin \dfrac{{6\pi }}{7}} \right)\sin \dfrac{\pi }{7}\\ = \dfrac{1}{2}\left( {1 + \cos \dfrac{\pi }{7}} \right) = {\cos ^2}\dfrac{\pi }{{14}}\end{array}\)

Do \(\sin \dfrac{\pi }{7} = 2\sin \dfrac{\pi }{{14}}\cos \dfrac{\pi }{{14}},\) ta suy ra

\(\sin \dfrac{{2\pi }}{7} + \sin \dfrac{{4\pi }}{7} + \sin \dfrac{{6\pi }}{7} = \dfrac{1}{2}\cot \dfrac{\pi }{{14}}.\)

LG b

\(\cos \dfrac{\pi }{{11}} + \cos \dfrac{{3\pi }}{{11}} + \cos \dfrac{{5\pi }}{{11}} + \cos \dfrac{{7\pi }}{{11}} + \cos \dfrac{{9\pi }}{{11}}\)

\(= \dfrac{1}{2}\)

Lời giải chi tiết:

Với \(k = 1,2,3,4,5\) ta có:

\(\cos \dfrac{{\left( {2k - 1} \right)\pi }}{{11}}\sin \dfrac{\pi }{{11}}\)

\(= \dfrac{1}{2}\left[ {\sin \dfrac{{2k\pi }}{{11}} - \sin \dfrac{{\left( {2k - 2} \right)\pi }}{{11}}} \right]\),

nên nếu gọi B là vế trái của đẳng thức ở câu b) thì

\(\begin{array}{l}B\sin \dfrac{\pi }{{11}} \\= \dfrac{1}{2}\left[ {\left( {\sin \dfrac{{2\pi }}{{11}} - \sin 0} \right) + \left( {\sin \dfrac{{4\pi }}{{11}} - \sin \dfrac{{2\pi }}{{11}}} \right)} \right.\\\left. { +  \ldots  + \left( {\sin \dfrac{{10\pi }}{{11}} - \sin \dfrac{{8\pi }}{{11}}} \right)} \right]\\ = \dfrac{1}{2}\sin \dfrac{{10\pi }}{{11}} = \dfrac{1}{2}\sin \dfrac{\pi }{{11}}.\end{array}\)

Từ đó \(B = \dfrac{1}{2}.\)

LG c

\(\cos \dfrac{{2\pi }}{{11}} + \cos \dfrac{{4\pi }}{{11}} + \cos \dfrac{{6\pi }}{{11}} + \cos \dfrac{{8\pi }}{{11}} + \cos \dfrac{{10\pi }}{{11}}\)

\(=  - \dfrac{1}{2}\)

Lời giải chi tiết:

Với \(k = 1,2,3,4,5\) ta có

\(\cos \dfrac{{2k\pi }}{{11}}\sin \dfrac{\pi }{{11}}\)

\(= \dfrac{1}{2}\left[ {\sin \dfrac{{\left( {2k + 1} \right)\pi }}{{11}} - \sin \dfrac{{\left( {2k - 1} \right)\pi }}{{11}}} \right]\) nên gọi C là vế trái của đẳng thức câu c) thì

\(\begin{array}{l}C\sin \dfrac{\pi }{{11}} \\= \dfrac{1}{2}\left[ {\left( {\sin \dfrac{{3\pi }}{{11}} - \sin \dfrac{\pi }{{11}}} \right) + \left( {\sin \dfrac{{5\pi }}{{11}} - \sin \dfrac{{3\pi }}{{11}}} \right)} \right.\\ +  \ldots  + \left. {\left( {\sin \pi  - \sin \dfrac{{9\pi }}{{11}}} \right)} \right]\\ =  - \dfrac{1}{2}\sin \dfrac{\pi }{{11}}.\end{array}\)

Từ đó \(C =  - \dfrac{1}{2}.\)

LG d

\(\sin \dfrac{\pi }{{11}} + \sin \dfrac{{2\pi }}{{11}} +  \ldots  + \sin \dfrac{{10\pi }}{{11}} = \cot \dfrac{\pi }{{22}}.\)

Lời giải chi tiết:

Gọi D là vế trái của bất đẳng thức câu d thì (ở đây \(n = 10,\alpha  = \dfrac{\pi }{{11}}\))

\(D\sin \dfrac{\pi }{{22}} = \sin \dfrac{{10\pi }}{{22}}\sin \dfrac{\pi }{2} = \sin \dfrac{{10\pi }}{{22}} = \cos \dfrac{\pi }{{22}}\)

Từ đó \(D = \cot \dfrac{\pi }{{22}}.\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 10 - Xem ngay

>> Học trực tuyến Lớp 11 trên Tuyensinh247.com. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.