Câu 6.57 trang 206 SBT Đại số 10 Nâng cao


Giải bài tập Câu 6.57 trang 206 SBT Đại số 10 Nâng cao

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Xét các biểu thức

\(\begin{array}{l}S = \sin \alpha  + sin2\alpha  + sin3\alpha  +  \ldots  + \sin n\alpha ,\\T = 1 + \cos \alpha  + \cos 2\alpha  + \cos 3\alpha  +  \ldots cosn\alpha \end{array}\)

(\(n\) là một số nguyên dương)

Chứng minh

LG a

\(S\sin \dfrac{\alpha }{2} = \sin \dfrac{{n\alpha }}{2}\sin \dfrac{{\left( {n + 1} \right)\alpha }}{2}\)

Lời giải chi tiết:

Với \(k = 1,2,3, \ldots ,n,\) ta có:

\(\sin k\alpha \sin \dfrac{\alpha }{2} = \dfrac{1}{2}\left[ {\cos \dfrac{{\left( {2k - 1} \right)\alpha }}{2} - \cos \dfrac{{\left( {2k + 1} \right)\alpha }}{2}} \right]\)

Nên

\(\begin{array}{l}S.\sin \dfrac{\alpha }{2} = \dfrac{1}{2}\left[ {\left( {\cos \dfrac{\alpha }{2} - \cos \dfrac{{3\alpha }}{2}} \right) + \left( {\cos \dfrac{{3\alpha }}{2} - \cos \dfrac{{5\alpha }}{2}} \right)} \right.\\\left. { +  \ldots  + \left( {\cos \dfrac{{\left( {2n - 1} \right)\alpha }}{2} - \cos \dfrac{{\left( {2n + 1} \right)\alpha }}{2}} \right)} \right]\\ = \dfrac{1}{2}\left[ {\left( {\cos \dfrac{\alpha }{2} - \cos \dfrac{{\left( {2n + 1} \right)\alpha }}{2}} \right)} \right]\\ = \sin \dfrac{{n\alpha }}{2}\sin \dfrac{{\left( {n + 1} \right)\alpha }}{2}\end{array}\)

LG b

\(T\sin \dfrac{\alpha }{2} = \cos \dfrac{{n\alpha }}{2}\sin \dfrac{{\left( {n + 1} \right)\alpha }}{2}\)

Lời giải chi tiết:

Với \(k = 1,2,3 \ldots ,n,\) ta có:

\(\cos k\alpha \sin \dfrac{\alpha }{2} = \dfrac{1}{2}\left[ {\sin \dfrac{{\left( {2k + 1} \right)\alpha }}{2} - \sin \dfrac{{\left( {2k - 1} \right)\alpha }}{2}} \right]\)

nên

\(\begin{array}{l}T\sin \dfrac{\alpha }{2} = \sin \dfrac{\alpha }{2} + \dfrac{1}{2}\left[ {\left( {\sin \dfrac{{3\alpha }}{2} - \sin \dfrac{\alpha }{2}} \right) + \left( {\sin \dfrac{{5\alpha }}{2} - \sin \dfrac{{3\alpha }}{2}} \right)} \right.\\\left. { +  \ldots  + \left( {\sin \dfrac{{\left( {2n + 1} \right)\alpha }}{2} - \sin \dfrac{{\left( {2n - 1} \right)\alpha }}{2}} \right)} \right]\\ = \dfrac{1}{2}\left[ {\sin \dfrac{{\left( {2n + 1} \right)\alpha }}{2} + \sin \dfrac{\alpha }{2}} \right]\\ = \cos \dfrac{{n\alpha }}{2}\sin \dfrac{{\left( {n + 2} \right)\alpha }}{2}\end{array}\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 10 - Xem ngay

2k8 Tham gia ngay group chia sẻ, trao đổi tài liệu học tập miễn phí

>> Học trực tuyến Lớp 10 tại Tuyensinh247.com, Cam kết giúp học sinh học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.