Câu 6.56 trang 206 SBT Đại số 10 Nâng cao


Giải bài tập Câu 6.56 trang 206 SBT Đại số 10 Nâng cao

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thỏa mãn điều kiện:

LG a

\(\sin A = \dfrac{{\cos B + \cos C}}{{\sin B + \sin C}}\) thì tam giác ABC là tam giác vuông;

Lời giải chi tiết:

Vì \(\sin A = 2\sin \dfrac{A}{2}\cos \dfrac{A}{2}\) và

\(\begin{array}{l}\dfrac{{\cos B + \cos C}}{{\sin B + \sin C}} = \dfrac{{2\cos \dfrac{{B + C}}{2}\cos \dfrac{{B - C}}{2}}}{{2\sin \dfrac{{B + C}}{2}\cos \dfrac{{B - C}}{2}}}\\ = \dfrac{{\cos \left( {\dfrac{\pi }{2} - \dfrac{A}{2}} \right)}}{{\sin \left( {\dfrac{\pi }{2} - \dfrac{A}{2}} \right)}} = \dfrac{{\sin \dfrac{A}{2}}}{{\cos \dfrac{A}{2}}}\end{array}\)

nên dễ thấy

\(\begin{array}{l}\sin A = \dfrac{{\cos B + \cos C}}{{\sin B + \sin C}}\\ \Leftrightarrow 2{\cos ^2}\dfrac{A}{2} = 1 \Leftrightarrow \cos A = 0\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \widehat A\) là góc vuông.

LG b

 \(\dfrac{{\sin A}}{{\sin B}} = \dfrac{{\cos B + \cos C}}{{\cos C + \cos A}}\) thì tam giác ABC là một tam giác vuông hoặc một tam giác cân.

Lời giải chi tiết:

 Cách 1

\(\begin{array}{l}\dfrac{{\sin A}}{{\sin B}} = \dfrac{{\cos B + \cos C}}{{\cos C + \cos A}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\sin \dfrac{A}{2}\cos \dfrac{A}{2}}}{{\sin \dfrac{B}{2}\cos \dfrac{B}{2}}} = \dfrac{{\sin \dfrac{A}{2}\cos \dfrac{{B - C}}{2}}}{{\sin \dfrac{B}{2}\cos \dfrac{{C - A}}{2}}}\\ \Leftrightarrow \cos \dfrac{A}{2}\cos \dfrac{{C - A}}{2} = \cos \dfrac{B}{2}\cos \dfrac{{B - C}}{2}\\ \Leftrightarrow \cos \dfrac{C}{2} + \cos \left( {A - \dfrac{C}{2}} \right)\\ = \cos \left( {B - \dfrac{C}{2}} \right) + \cos \dfrac{C}{2}\\ \Leftrightarrow \cos \left( {A - \dfrac{C}{2}} \right) = \cos \left( {B - \dfrac{C}{2}} \right)\\ \Leftrightarrow \left| {A - \dfrac{C}{2}} \right| = \left| {B - \dfrac{C}{2}} \right|\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\widehat A = \widehat B\\\widehat A + \widehat B = \widehat C.\end{array} \right.\end{array}\)

Cách 2

\(\begin{array}{l}\dfrac{{\sin A}}{{\sin B}} = \dfrac{{\cos B + \cos C}}{{\cos C + \cos A}}\\ \Leftrightarrow \sin A\cos A - \sin B\cos B\\ = \cos C\left( {\sin B - \sin A} \right)\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\left( {\sin 2A - \sin 2B} \right)\\ = \cos C\left( {\sin B - \sin A} \right)\\ \Leftrightarrow \cos \left( {A + B} \right)\sin \left( {A - B} \right)\\ = 2\cos C\cos \dfrac{{B + A}}{2}\sin \dfrac{{B - A}}{2}\\ \Leftrightarrow  - \cos C\sin \dfrac{{A - B}}{2}\cos \dfrac{{A - B}}{2}\\ =  - \cos C\sin \dfrac{{A - B}}{2}\cos \dfrac{{A + B}}{2}\\ \Leftrightarrow \cos C\sin \dfrac{{A - B}}{2}\left( {\cos \dfrac{{A + B}}{2} - \cos \dfrac{{A - B}}{2}} \right)\\ = 0\\ \Leftrightarrow \cos C\sin \dfrac{A}{2}\sin \dfrac{B}{2}\sin \dfrac{{A - B}}{2} = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos C = 0\\\sin \dfrac{{A - B}}{2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\widehat C\,\,vuông\\\widehat A = \widehat B\end{array} \right.\end{array}\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 10 - Xem ngay

>> Học trực tuyến Lớp 11 trên Tuyensinh247.com. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.