Câu 6.56 trang 206 SBT Đại số 10 Nâng cao

Giải bài tập Câu 6.56 trang 206 SBT Đại số 10 Nâng cao

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

LG a
LG b

Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thỏa mãn điều kiện:

LG a

\(\sin A = \dfrac{{\cos B + \cos C}}{{\sin B + \sin C}}\) thì tam giác ABC là tam giác vuông;

Lời giải chi tiết:

Vì \(\sin A = 2\sin \dfrac{A}{2}\cos \dfrac{A}{2}\) và

\(\begin{array}{l}\dfrac{{\cos B + \cos C}}{{\sin B + \sin C}} = \dfrac{{2\cos \dfrac{{B + C}}{2}\cos \dfrac{{B - C}}{2}}}{{2\sin \dfrac{{B + C}}{2}\cos \dfrac{{B - C}}{2}}}\\ = \dfrac{{\cos \left( {\dfrac{\pi }{2} - \dfrac{A}{2}} \right)}}{{\sin \left( {\dfrac{\pi }{2} - \dfrac{A}{2}} \right)}} = \dfrac{{\sin \dfrac{A}{2}}}{{\cos \dfrac{A}{2}}}\end{array}\)

nên dễ thấy

\(\begin{array}{l}\sin A = \dfrac{{\cos B + \cos C}}{{\sin B + \sin C}}\\ \Leftrightarrow 2{\cos ^2}\dfrac{A}{2} = 1 \Leftrightarrow \cos A = 0\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \widehat A\) là góc vuông.

LG b

\(\dfrac{{\sin A}}{{\sin B}} = \dfrac{{\cos B + \cos C}}{{\cos C + \cos A}}\) thì tam giác ABC là một tam giác vuông hoặc một tam giác cân.

Lời giải chi tiết:

Cách 1

\(\begin{array}{l}\dfrac{{\sin A}}{{\sin B}} = \dfrac{{\cos B + \cos C}}{{\cos C + \cos A}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\sin \dfrac{A}{2}\cos \dfrac{A}{2}}}{{\sin \dfrac{B}{2}\cos \dfrac{B}{2}}} = \dfrac{{\sin \dfrac{A}{2}\cos \dfrac{{B - C}}{2}}}{{\sin \dfrac{B}{2}\cos \dfrac{{C - A}}{2}}}\\ \Leftrightarrow \cos \dfrac{A}{2}\cos \dfrac{{C - A}}{2} = \cos \dfrac{B}{2}\cos \dfrac{{B - C}}{2}\\ \Leftrightarrow \cos \dfrac{C}{2} + \cos \left( {A - \dfrac{C}{2}} \right)\\ = \cos \left( {B - \dfrac{C}{2}} \right) + \cos \dfrac{C}{2}\\ \Leftrightarrow \cos \left( {A - \dfrac{C}{2}} \right) = \cos \left( {B - \dfrac{C}{2}} \right)\\ \Leftrightarrow \left| {A - \dfrac{C}{2}} \right| = \left| {B - \dfrac{C}{2}} \right|\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\widehat A = \widehat B\\\widehat A + \widehat B = \widehat C.\end{array} \right.\end{array}\)

Cách 2

\(\begin{array}{l}\dfrac{{\sin A}}{{\sin B}} = \dfrac{{\cos B + \cos C}}{{\cos C + \cos A}}\\ \Leftrightarrow \sin A\cos A - \sin B\cos B\\ = \cos C\left( {\sin B - \sin A} \right)\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\left( {\sin 2A - \sin 2B} \right)\\ = \cos C\left( {\sin B - \sin A} \right)\\ \Leftrightarrow \cos \left( {A + B} \right)\sin \left( {A - B} \right)\\ = 2\cos C\cos \dfrac{{B + A}}{2}\sin \dfrac{{B - A}}{2}\\ \Leftrightarrow - \cos C\sin \dfrac{{A - B}}{2}\cos \dfrac{{A - B}}{2}\\ = - \cos C\sin \dfrac{{A - B}}{2}\cos \dfrac{{A + B}}{2}\\ \Leftrightarrow \cos C\sin \dfrac{{A - B}}{2}\left( {\cos \dfrac{{A + B}}{2} - \cos \dfrac{{A - B}}{2}} \right)\\ = 0\\ \Leftrightarrow \cos C\sin \dfrac{A}{2}\sin \dfrac{B}{2}\sin \dfrac{{A - B}}{2} = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos C = 0\\\sin \dfrac{{A - B}}{2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\widehat C\,\,vuông\\\widehat A = \widehat B\end{array} \right.\end{array}\)

Loigiaihay.com