Giải SBT toán hình học và đại số 10 nâng cao Bài 4. Một số công thức lượng giác

Câu 6.52 trang 205 SBT Đại số 10 Nâng cao


Đề bài

a) Chứng minh rằng nếu \(\cos \left( {\alpha  + \beta } \right) = 0\) thì \(\sin \left( {\alpha  + 2\beta } \right) = \sin \alpha \).

b) Chứng minh rằng nếu \(\sin \left( {2\alpha  + \beta } \right) = 3\sin \beta \) và \(\cos \alpha  \ne 0,\cos \left( {\alpha  + \beta } \right) \ne 0\) thì \(\tan \left( {\alpha  + \beta } \right) = 2\tan \alpha \)

Lời giải chi tiết

a) Nếu \(\cos \left( {\alpha  + \beta } \right) = 0\) thì

\(\begin{array}{l}\sin \left( {\alpha  + 2\beta } \right) = \sin \alpha \cos 2\beta  + \sin 2\beta \cos \alpha \\ = \sin \alpha \left( {1 - 2{{\sin }^2}\beta } \right) + 2\sin \beta \cos \beta \cos \alpha \\ = \sin \alpha  + 2\sin \beta \left( { - \sin \alpha \sin \beta  + \cos \alpha \cos \beta } \right)\\ = \sin \alpha  + 2\sin \beta \cos \left( {\alpha  + \beta } \right) = \sin \alpha \end{array}\)

Ta có

\(\begin{array}{l}\sin \left( {2\alpha  + \beta } \right) = 3\sin \beta \\ \Leftrightarrow 2\sin \alpha \cos \alpha \cos \beta  + \left( {2{{\cos }^2}\alpha  - 1} \right)\sin \beta  = 3\sin \beta \\ \Leftrightarrow \cos \alpha \sin \left( {\alpha  + \beta } \right) = 2\sin \beta \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

Mặt khác

\(\begin{array}{l}\sin \left( {2\alpha  + \beta } \right) = 2\sin \beta \\ \Leftrightarrow 2\sin \alpha \cos \alpha \cos \beta  + \left( {1 - 2{{\sin }^2}\alpha } \right)\sin \beta  = 3sin\beta \\ \Leftrightarrow \sin \alpha \cos \left( {\alpha  + \beta } \right) = \sin \beta \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)

Từ (1) và (2) suy ra \(\cot \alpha \tan \left( {\alpha  + \beta } \right) = 2.\) Do đó \(\tan \left( {\alpha  + \beta } \right) = 2\tan \alpha .\)   

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 10 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

>> Học trực tuyến Lớp 11 trên Tuyensinh247.com. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Đăng ký để nhận lời giải hay và tài liệu miễn phí

Cho phép loigiaihay.com gửi các thông báo đến bạn để nhận được các lời giải hay cũng như tài liệu miễn phí.

Đồng ý Bỏ qua