Câu 6.52 trang 205 SBT Đại số 10 Nâng cao


Giải bài tập Câu 6.52 trang 205 SBT Đại số 10 Nâng cao

Đề bài

a) Chứng minh rằng nếu \(\cos \left( {\alpha  + \beta } \right) = 0\) thì \(\sin \left( {\alpha  + 2\beta } \right) = \sin \alpha \).

b) Chứng minh rằng nếu \(\sin \left( {2\alpha  + \beta } \right) = 3\sin \beta \) và \(\cos \alpha  \ne 0,\cos \left( {\alpha  + \beta } \right) \ne 0\) thì \(\tan \left( {\alpha  + \beta } \right) = 2\tan \alpha \)

Lời giải chi tiết

a) Nếu \(\cos \left( {\alpha  + \beta } \right) = 0\) thì

\(\begin{array}{l}\sin \left( {\alpha  + 2\beta } \right) = \sin \alpha \cos 2\beta  + \sin 2\beta \cos \alpha \\ = \sin \alpha \left( {1 - 2{{\sin }^2}\beta } \right) + 2\sin \beta \cos \beta \cos \alpha \\ = \sin \alpha  + 2\sin \beta \left( { - \sin \alpha \sin \beta  + \cos \alpha \cos \beta } \right)\\ = \sin \alpha  + 2\sin \beta \cos \left( {\alpha  + \beta } \right) = \sin \alpha \end{array}\)

Ta có

\(\begin{array}{l}\sin \left( {2\alpha  + \beta } \right) = 3\sin \beta \\ \Leftrightarrow 2\sin \alpha \cos \alpha \cos \beta  + \left( {2{{\cos }^2}\alpha  - 1} \right)\sin \beta  = 3\sin \beta \\ \Leftrightarrow \cos \alpha \sin \left( {\alpha  + \beta } \right) = 2\sin \beta \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

Mặt khác

\(\begin{array}{l}\sin \left( {2\alpha  + \beta } \right) = 2\sin \beta \\ \Leftrightarrow 2\sin \alpha \cos \alpha \cos \beta  + \left( {1 - 2{{\sin }^2}\alpha } \right)\sin \beta  = 3sin\beta \\ \Leftrightarrow \sin \alpha \cos \left( {\alpha  + \beta } \right) = \sin \beta \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)

Từ (1) và (2) suy ra \(\cot \alpha \tan \left( {\alpha  + \beta } \right) = 2.\) Do đó \(\tan \left( {\alpha  + \beta } \right) = 2\tan \alpha .\)   

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 10 - Xem ngay

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí