Câu 6.51 trang 205 SBT Đại số 10 Nâng cao

Giải bài tập Câu 6.51 trang 205 SBT Đại số 10 Nâng cao

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Chứng minh rằng với mọi \(\alpha ,\beta \), ta có:

LG a

\({\sin ^2}\left( {\alpha + \beta } \right) = {\sin ^2}\alpha + {\sin ^2}\beta + 2\sin \alpha \sin \beta \cos \left( {\alpha + \beta } \right)\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}{\sin ^2}\left( {\alpha + \beta } \right) = {\left( {\sin \alpha \cos \beta + \sin \beta \cos \alpha } \right)^2}\\ = {\sin ^2}\alpha {\cos ^2}\beta + {\sin ^2}\beta {\cos ^2}\alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha sin\beta cos\beta \\ = {\sin ^2}\alpha \left( {1 - {{\sin }^2}\beta } \right) + {\sin ^2}\beta \left( {1 - {{\sin }^2}\alpha } \right) + 2\sin \alpha \cos \alpha \sin \beta \cos \beta \\ = {\sin ^2}\alpha + {\sin ^2}\beta - 2{\sin ^2}\alpha {\sin ^2}\beta + 2\sin \alpha \cos \alpha \sin \beta \cos \beta \\ = {\sin ^2}\alpha + {\sin ^2}\beta + 2\sin \alpha \sin \beta \left( {\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta } \right)\\ = {\sin ^2}\alpha + {\sin ^2}\beta + 2\sin \alpha \sin \beta \cos \left( {\alpha + \beta } \right)\end{array}\)

LG b

Biết \(\cos \alpha + \cos \beta = m;\sin \alpha + \sin \beta = n,\)hãy tính \(\cos \left( {\alpha - \beta } \right)\) theo m, n

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}{m^2} + {n^2} = {\left( {\cos \alpha + \cos \beta } \right)^2} + {\left( {\sin \alpha + \sin \beta } \right)^2}\\ = {\cos ^2}\alpha + {\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\beta + {\sin ^2}\beta + 2\left( {\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta } \right)\\ = 2 + 2\cos \left( {\alpha - \beta } \right)\end{array}\)

Do đó \(\cos \left( {\alpha - \beta } \right) = \dfrac{{{m^2} + {n^2} - 2}}{2}.\)

LG c

Biết \({\cos ^2}\alpha + {\cos ^2}\beta = p.\) Hãy tính \(\cos \left( {\alpha - \beta } \right)\cos \left( {\alpha + \beta } \right)\) theo p.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\cos \left( {\alpha - \beta } \right)\cos \left( {\alpha + \beta } \right)\\ = \dfrac{1}{2}\left( {\cos 2\alpha + \cos 2\beta } \right)\\ = \dfrac{1}{2}\left( {2{{\cos }^2}\alpha - 1 + 2{{\cos }^2}\beta - 1} \right)\\ = {\cos ^2}\alpha + {\cos ^2}\beta - 1 = p - 1\end{array}\)

Loigiaihay.com