Câu 6.53 trang 205 SBT Đại số 10 Nâng cao


Giải bài tập Câu 6.53 trang 205 SBT Đại số 10 Nâng cao

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Chứng minh

LG a

\(4\cos {15^0}\cos {21^0}\cos {24^0} - \cos {12^0} - \cos {18^0}\)

\(= \dfrac{{1 + \sqrt 3 }}{2}\);

Phương pháp giải:

Công thức: 

+) \(\cos a.\cos b = \frac{1}{2}(\cos (a + b) + \cos (a - b))\)

+) \(\cos a + \cos b = 2\cos \frac{{a + b}}{2}.\cos \frac{{a - b}}{2}\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
2\cos {15^o}(2\cos {21^o}\cos {24^o}) - (\cos {12^o} + \cos {18^o})\\
= 2\cos {15^o}\left( {\cos \left( {{{21}^o} + {{24}^o}} \right) + \cos \left( {{{24}^o} - {{21}^o}} \right)} \right) - (2\cos \frac{{{{18}^o} + {{12}^o}}}{2}.\cos \frac{{{{18}^o} - {{12}^o}}}{2})
\end{array}\\
{ = 2\cos {{15}^o}\left( {\cos {{45}^o} + \cos {3^o}} \right) - 2\cos {{15}^o}\cos {3^o}}\\
{ = 2\cos {{15}^o}\cos {{45}^o} = \cos \left( {{{15}^o} + {{45}^o}} \right) + \cos \left( {{{45}^o} - {{15}^o}} \right)}\\
{ = \cos {{60}^o} + \cos {{30}^o} = \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}.}
\end{array}\)

LG b

\(\tan {30^0} + \tan {40^0} + \tan {50^0} + \tan {60^0}\)

\(= \dfrac{{8\sqrt 3 }}{3}\cos {20^0}\);

Phương pháp giải:

Công thức: 

+) \(\tan a \pm \tan b = \frac{{\sin (a \pm b)}}{{\cos a.\cos b}}\)

+) \(\cos a.\cos b = \frac{1}{2}(\cos (a + b) + \cos (a - b))\)

+) \(\cos a + \cos b = 2\cos \frac{{a + b}}{2}.\cos \frac{{a - b}}{2}\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{A = \left( {\tan {{30}^0} + \tan {{60}^0}} \right) + \left( {\tan {{40}^0} + \tan {{50}^0}} \right)}\\
\begin{array}{l}
= \frac{{\sin {{90}^0}}}{{\cos {{30}^0}\cos {{60}^0}}} + \frac{{\sin {{90}^0}}}{{\cos {{40}^0}\cos {{50}^0}}}\\
= \frac{1}{{\cos {{30}^0}\cos {{60}^0}}} + \frac{1}{{\cos {{40}^0}\cos {{50}^0}}}\\
= \frac{1}{{\frac{1}{2}\left( {\cos {{90}^0} + \cos {{30}^0}} \right)}} + \frac{1}{{\frac{1}{2}\left( {\cos {{90}^0} + \cos {{10}^0}} \right)}}\\
= 2.\left( {\frac{1}{{\cos {{30}^0}}} + \frac{1}{{\cos {{10}^0}}}} \right) = 2.\frac{{\cos {{30}^0} + \cos {{10}^0}}}{{\cos {{30}^0}.\cos {{10}^0}}}\\
= 2.\frac{{2.\cos {{20}^0}.\cos {{10}^0}}}{{\cos {{30}^0}.\cos {{10}^0}}} = 4.\frac{{\cos {{20}^0}}}{{\cos {{30}^0}}}\\
= 4.\frac{{\cos {{20}^0}}}{{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{{8\sqrt 3 }}{3}\cos {20^0}
\end{array}
\end{array}\)

LG c

\(\dfrac{1}{{\sin {{18}^0}}} - \dfrac{1}{{\sin {{54}^0}}} = 2;\)

Phương pháp giải:

+ \(\sin a - \sin b = 2\cos \frac{{a + b}}{2}\sin \frac{{a - b}}{2}\)

+ \(\sin a = \cos ({90^o} - a)\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{{\sin {{18}^0}}} - \dfrac{1}{{\sin {{54}^0}}} = \dfrac{{\sin {{54}^0} - \sin {{18}^0}}}{{\sin {{18}^0}\sin {{54}^0}}}\\ = \dfrac{{2\cos {{36}^0}\sin {{18}^0}}}{{\sin {{18}^0}\sin {{54}^0}}} = \dfrac{{2\cos {{36}^0}}}{{\sin {{54}^0}}}\\ = \dfrac{{2\cos {{36}^0}}}{{\cos {{36}^0}}} = 2.\end{array}\)

LG d

\(\tan {9^0} - \tan {27^0} - \tan {63^0} + \tan {81^0} = 4\).

Phương pháp giải:

\(\tan {81^0} = \cot {90^0 - 81^0}= \cot {9^0}\)

\(\tan {81^0} = \cot {90^0 - 81^0}= \cot {9^0}\)

\(\cos {{36}^o}= \sin {90^0 - 36^0}= \sin {{54}^o}\)

\(\sin a - \sin b = 2.\cos \frac{{a + b}}{2}.\sin \frac{{a - b}}{2}\)

Lời giải chi tiết:

\(D= \tan {9^0} - \tan {27^0} - \tan {63^0} + \tan {81^0}\\ = \tan {9^0} + \tan {81^0} - \left( {\tan {{27}^0} + \tan {{63}^0}} \right)\)

\(\begin{array}{l}
\tan {9^o} + \tan {81^o} = \tan {9^o} + \cot {9^o}\\
= \frac{{\sin {9^o}}}{{\cos {9^o}}} + \frac{{\cos {9^o}}}{{\sin {9^o}}} = \frac{{{{\sin }^2}{9^o} + {{\cos }^2}{9^o}}}{{\sin {9^o}.\cos {9^o}}} = \frac{2}{{\sin {{18}^o}}}
\end{array}\)

Tương tự: \(\tan {{27}^0} + \tan {{63}^0}= \frac{2}{{\sin {{54}^o}}}\)

\(\begin{array}{l}
\Rightarrow D = 2\left( {\dfrac{1}{{\sin {{18}^o}}} - \dfrac{1}{{\sin {{54}^o}}}} \right) = 2.\dfrac{{\sin {{54}^o} - \sin {{18}^o}}}{{\sin {{54}^o}.\sin {{18}^o}}}\\
= 2.\dfrac{{2.\cos \frac{{{{54}^o} + {{18}^o}}}{2}.\sin \frac{{{{54}^o} - {{18}^o}}}{2}}}{{\sin {{54}^o}.\sin {{18}^o}}} = 4.\dfrac{{\cos {{36}^o}.\sin {{18}^o}}}{{\sin {{54}^o}.\sin {{18}^o}}} = 4
\end{array}\) 

(vì \(\cos {{36}^o}= \sin {90^0 - 36^0}= \sin {{54}^o}\))

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 10 - Xem ngay

Ph/hs Tham Gia Nhóm Để Cập Nhật Điểm Thi, Điểm Chuẩn Miễn Phí