Câu 12 trang 225 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao


Cho dãy số (un) xác định bởi

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho dãy số (un) xác định bởi

\({u_1} = 3\,\text{ và }\,{u_n} = 4{u_{n - 1}} - 1\) với mọi n ≥ 2

Chứng minh rằng :

LG a

\({u_n} = {{{2^{2n + 1}} + 1} \over 3}\)  (1)  với mọi số nguyên n ≥ 1

Lời giải chi tiết:

Với n = 1 ta có \({u_1} = 3 = {{{2^3} + 1} \over 3}\)

(1) đúng với n = 1

Giả sử (1) đúng với n = k tức là ta có : \({u_k} = {{{2^{2k + 1}} + 1} \over 3}\)

Ta chứng minh (1) đúng khi n=k+1 hay \({u_{k + 1}} = \dfrac{{{2^{2\left( {k + 1} \right) + 1}} + 1}}{3}\)

Với n = k + 1 ta có :

\(\eqalign{  & {u_{k + 1}} = 4{u_k} - 1 = 4.{{{2^{2k + 1}} + 1} \over 3} - 1 \cr &= {{4\left( {{2^{2k + 1}} + 1} \right) - 3} \over 3}  \cr  &  = {{{2^{2k + 3}} + 1} \over 3} = {{{2^{2\left( {k + 1} \right)+1}} + 1} \over 3} \cr} \)

Vậy (1) đúng với n = k + 1 do đó (1) đúng với ∀ n ≥ 1

LG b

(u­n) là môt dãy số tăng.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\eqalign{  & {u_{n + 1}} - {u_n} = {{{2^{2n + 3}} + 1} \over 3} - {{{2^{2n + 1}} + 1} \over 3} = {{{2^{2n + 1}}\left( {{2^2} - 1} \right)} \over 3}  \cr  &  = {2^{2n + 1}} > 0 \Rightarrow {u_{n + 1}} > {u_n} \cr} \)

⇒ (un) là dãy số tăng.

 Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>>Học trực tuyến Lớp 11 trên Tuyensinh247.com, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu


Gửi bài