Bài 79 trang 62 SGK giải tích 12 nâng cao


Cho hàm số : a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tiếp tuyến của đường cong (C) tại điểm cắt tiệm cận đứng và tiệm cận xiên tại hai điểm A và B. Chứng minh rằng M là trung điểm của đoạn thẳng AB và tam giác OAB có diện tích không phụ thuộc vào vị trí điểm M trên đường cong (C).

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho hàm số : \(y = f\left( x \right) = x + {1 \over x}\)

LG a

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

Lời giải chi tiết:

Tập xác định: \(D = R\backslash \left\{ 0 \right\}\)

\(\eqalign{
& y' = 1 - {1 \over {{x^2}}} = {{{x^2} - 1} \over {{x^2}}} \cr 
& y' = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1 \cr} \)

Hàm số đồng biến trên các khoảng: \(\left( { - \infty ; - 1} \right),\left( {1; + \infty } \right)\)

Hàm số nghịch biến trên các khoảng: \(\left( { - 1;0} \right),\left( {0;1} \right)\)

+) Cực trị:

 Hàm số đạt cực đại tại: \(x=-1 ; y(-1)= -2\)

Hàm số đạt cực tiểu tại: \(x=1;y(1)=2\)

+) Giới hạn:

\(\mathop {\lim y}\limits_{x \to {0^ - }}  =  - \infty ;\mathop {\lim y}\limits_{x \to {0^ + }}  =  + \infty \)

Tiệm cận đứng: \(x=0\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } y =  \pm \infty \)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } (y - x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {1 \over x} = 0\)

Tiệm cận xiên: \(y=x\)

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

LG b

Tiếp tuyến của đường cong (C) tại điểm \(M\left( {{x_o};f\left( {{x_o}} \right)} \right)\) cắt tiệm cận đứng và tiệm cận xiên tại hai điểm A và B. Chứng minh rằng M là trung điểm của đoạn thẳng AB và tam giác OAB có diện tích không phụ thuộc vào vị trí điểm M trên đường cong (C).

Lời giải chi tiết:

Tiệm cận đứng x = 0; Tiệm cận xiên y = x.
Ta có \(f\left( x \right) = 1 - {1 \over {{x^2}}}\).

Phương trình tiếp tuyến của đường cong (C) tại điểm \(M\left( {{x_o};f\left( {{x_o}} \right)} \right)\) là \(y = \left( {1 - {1 \over {x_o^2}}} \right)\left( {x - {x_o}} \right) + {x_o} + {1 \over {{x_o}}}\)

Thay x = 0 vào phương trình trên, ta được tung độ của điểm A:

\({y_A} = \left( {1 - {1 \over {x_o^2}}} \right)\left( { - {x_o}} \right) + {x_o} + {1 \over {{x_o}}} \) \(= {2 \over {{x_o}}}\).

Vậy \(A\left( {0;{2 \over {{x_o}}}} \right)\)

Hoành độ của điểm B là nghiệm của phương trình

\(\left( {1 - {1 \over {x_o^2}}} \right)\left( {x - {x_o}} \right) + {x_o} + {1 \over {{x_o}}} = x \)

\(\Leftrightarrow  - {x \over {{x_o}}} + {2 \over {{x_o}}} = 0 \Leftrightarrow x = 2{x_o}\)

\({x_B} = 2{x_o}\).

Vậy \(B\left( {2{x_o};2{x_o}} \right)\)

Ta có: \({x_M} = {x_o} = {{0 + 2{x_o}} \over 2} \) \(= {{{x_A} + {x_B}} \over 2}\)

Vì ba điểm A, M, B thẳng hàng nên từ đó suy ra rằng M là trung điểm của đoạn thẳng AB.

Ta thấy, khoảng cách từ B đến trục Oy bằng 2x0 là độ dài đường cao kẻ từ B của OAB, OA có độ dài bằng 2/x0 .
Diện tích tam giác OAB là

\(S = {1 \over 2}\left| {{y_A}} \right|\left| {{y_B}} \right| = {1 \over 2}\left| {{2 \over {{x_o}}}} \right|\left| {2{x_o} } \right|=2,\) với \(\forall {x_o} \ne 0\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.3 trên 3 phiếu

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài