Bài 71 trang 62 SGK giải tích 12 nâng cao


Chu vi của một tam giác là 16cm, độ dài một cạnh tam giác là 6cm. Tìm độ dài hai cạnh còn lại của tam giác sao cho tam giác có diện tích lớn nhât.

Đề bài

Chu vi của một tam giác là 16cm, độ dài một cạnh tam giác là 6cm. Tìm độ dài hai cạnh còn lại của tam giác sao cho tam giác có diện tích lớn nhât.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Có thể áp dụng công thức Hê-rông để tính diện tích tam giác:

Nếu tam giác ABC có độ dài các cạnh là a, b, c thì diện tích của nó là:

\(S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} \)

(p là nửa chu vi của tam giác.)

Lời giải chi tiết

Gọi x, y là độ dài hai cạnh còn lại của tam giác.

Nửa chu vi tam giác là p=16:2=8.

Ta có: \(x + y = 16 - 6 = 10\) \(\Rightarrow y = 10 - x\) với \(x > 0,\,y > 0\)

Diện tích tam giác là:

\(S = \sqrt {p\left( {p - 6} \right)\left( {p - x} \right)\left( {p - y} \right)}  \)

\(= \sqrt {8.2\left( {8 - x} \right)\left( {8 - y} \right)}  \)

\(= 4\sqrt {\left( {8 - x} \right)\left( {8 - y} \right)} \)

Thay y= 10- x , ta được \(S = 4\sqrt {\left( {8 - x} \right)\left( {x - 2} \right)} \)

\(= 4\sqrt {{-x^2} + 10x - 16} \,\,\,\left( {0 < x < 10} \right)\)

S đạt giá trị lớn nhất trên khoảng (0;10) khi và chỉ khi hàm số \(f\left( x \right) =  - {x^2} + 10x - 16\) đạt giá trị lớn nhất trên khoảng (0;10).

\(f'\left( x \right) =  - 2x + 10\)

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 5;\,f\left( 5 \right) = 9\)

Tam giác có diện tích lớn nhất khi x = 5 (cm) và y= 5 (cm)

\(\mathop {\max }\limits_{x \in \left( {0;10} \right)} f\left( x \right) = f\left( 5 \right) = 9\)

Khi đó diện tích tam giác là: \(S = 4\sqrt {(8-5)(5-2)}  = 12\left( {c{m^2}} \right)\)

Cách khác:

Ta có: \(S = 4\sqrt {\left( {8 - x} \right)\left( {x - 2} \right)} \)

ĐK: \(\left( {8 - x} \right)\left( {x - 2} \right) \ge 0 \) \(\Leftrightarrow 2 \le x \le 8\)

Áp dụng BĐT Cô - si cho hai số không âm \(a=8-x\) và \(b=x-2\) ta có:

\(\begin{array}{l}
\sqrt {\left( {8 - x} \right)\left( {x - 2} \right)} \le \frac{{8 - x + x - 2}}{2} = 3\\
\Rightarrow S \le 4.3 = 12
\end{array}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(8 - x = x - 2 \)

\(\Leftrightarrow 10 = 2x \Leftrightarrow x = 5\).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4 trên 5 phiếu

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài