Giải bài tập Toán 12 Nâng cao, Toán 12 Nâng cao, đầy đủ giải tích và hình học Câu hỏi và bài tập chương I - Ứng dụng đạo hàm để khảo ..

Bài 68 trang 61 SGK giải tích 12 nâng cao


Chứng minh các bất đẳng thức sau:

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Chứng minh các bất đẳng thức sau:

LG a

\(\tan x > x,\,\forall x \in \left( {0;{\pi  \over 2}} \right)\);

Phương pháp giải:

Chứng minh rằng hàm số: \(f\left( x \right) = \tan x - x\) đồng biến trên nửa khoảng \(\left[ {0;{\pi  \over 2}} \right)\)

Lời giải chi tiết:

Hàm số \(f\left( x \right) = \tan x - x\) liên tục trên nửa khoảng \(\left[ {0;{\pi  \over 2}} \right)\) và có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {1 \over {{{\cos }^2}x}} - 1 \) trên khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\)

Vì \(0 < {\cos ^2}x < 1\)\( \Rightarrow \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} > 1 \Rightarrow \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1 > 0\)  \( \Rightarrow f'(x) > 0,\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\)

Do đó hàm số \(f\) đồng biến trên nửa khoảng \(\left[ {0;{\pi  \over 2}} \right)\) 

Từ đó: \(f\left( x \right) > f\left( 0 \right)=0,\forall x \in \left( {0;{\pi  \over 2}} \right)\) \( \Leftrightarrow \tan x - x > 0,\forall x \in \left( {0;{\pi  \over 2}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \tan x > x,\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\)

LG b

\(\tan x > x + {{{x^3}} \over 3},\,\forall x \in \left( {0;{\pi  \over 2}} \right)\)

Lời giải chi tiết:

Hàm số \(f\left( x \right) = \tan x - x - {{{x^3}} \over 3}\) liên tục trên nửa khoảng \(\left[ {0;{\pi  \over 2}} \right)\) và có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {1 \over {{{\cos }^2}x}} - 1 -x^2\) \(= {\tan ^2}x - {x^2} \) \( = \left( {\tan x - x} \right)\left( {\tan x + x} \right)\)

Ta có:

+) \(\tan x - x > 0,\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\) (câu a)

+) \(\tan x + x > 0, \forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\) vì trong khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\) thì \(\tan x\) và \(x\) đều dương.

Do đó \(f'\left( x \right) > 0,\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\)

Nên hàm số \(f\) đồng biến trên nửa khoảng \(\left[ {0;{\pi  \over 2}} \right)\) và khi đó 

\(f\left( x \right) > f\left( 0 \right) = 0\,\,\forall x \in \left( {0;{\pi  \over 2}} \right) \)

\(\Rightarrow \tan x > x + {{{x^3}} \over 3}\,\,\forall x \in \left( {0;{\pi  \over 2}} \right)\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.6 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo
  • Bài 69 trang 61 SGK giải tích 12 nâng cao

    Xét chiều biến thiên và tìm cực trị (nếu có) của các hàm số sau:

  • Bài 70 trang 61 SGK giải tích 12 nâng cao

    Người ta định làm một cái hộp hình trụ bằng tôn có thể tích V cho trước. Tìm bán kính đáy r và chiều cao của hình trụ sao cho tốn ít nguyên liệu nhất.

  • Bài 71 trang 62 SGK giải tích 12 nâng cao

    Chu vi của một tam giác là 16cm, độ dài một cạnh tam giác là 6cm. Tìm độ dài hai cạnh còn lại của tam giác sao cho tam giác có diện tích lớn nhât.

  • Bài 72 trang 62 SGK giải tích 12 nâng cao

    Cho hàm số: a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho. b) Chứng minh rằng phương trình f(x) =0 có ba nghiệm phân biệt.

  • Bài 73 trang 62 SGK giải tích 12 nâng cao

    Cho hàm số a) Tìm điều kiện đối với p và q để hàm số f có một cực đại và một cực tiểu. b) Chứng minh rằng nếu giá trị cực đại và giá trị cực tiểu trái dấu thì phương trình: có ba nghiệm phân biệt. c) Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt là:

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store