Bài 73 trang 62 SGK giải tích 12 nâng cao


Cho hàm số a) Tìm điều kiện đối với p và q để hàm số f có một cực đại và một cực tiểu. b) Chứng minh rằng nếu giá trị cực đại và giá trị cực tiểu trái dấu thì phương trình: có ba nghiệm phân biệt. c) Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt là:

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} + px + q\)

LG a

Tìm điều kiện đối với p và q để hàm số f có một cực đại và một cực tiểu.

Lời giải chi tiết:

Ta có \(f'\left( x \right) = 3{x^2} + p\)

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} + p = 0\,\,\left( 1 \right)\)

Hàm số f có một cực đại và một cực tiểu khi và chỉ khi khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow p < 0\)

Chú ý:

Khi làm dạng toán này chỉ cần tìm điều kiện như trên là đủ, dưới đây là kiểm nghiệm lại kết luận, không cần làm vào bài tránh dài dòng.

Khi \(p < 0\), hai nghiệm của (1) là: \(x =  - \sqrt { - {p \over 3}} ;\,\,\,x = \sqrt { - {p \over 3}} \)

Bảng biến thiên: 

Với \(M = {\left( { - \sqrt { - {p \over 3}} } \right)^3} - p\sqrt { - {p \over 3}}  +q\) \(= q - {2 \over 3}p\sqrt { - {p \over 3}} \)

\(m = {\left( {\sqrt { - {p \over 3}} } \right)^3} + p\sqrt { - {p \over 3}}  + q \) \(= q + {2 \over 3}p\sqrt { - {p \over 3}} \)

LG b

Chứng minh rằng nếu giá trị cực đại và giá trị cực tiểu trái dấu thì phương trình: \({x^3} + px + q = 0\,\,\left( 1 \right)\) có ba nghiệm phân biệt.

Lời giải chi tiết:

Cách 1.

Dạng đồ thị như hình vẽ:

Đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt nên phương trình x3+px+q= 0 có 3 nghiệm phân biệt.

Cách 2.

Hàm số f(x) = x3+px+q liên tục trên R và có

\({f_{CD}}.{f_{CT}} < 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{f_{CD}} > 0\\{f_{CT}} < 0\end{array} \right.\) (vì \(a = 1 > 0\))

f=f(x1 ), fCT=f(x2 )

Do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right) =  - \infty \) nên tồn tại số a sao cho f(a) < 0, với a<x1

Vì f(a).f < 0 nên phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc (a,x1)

Và f(x1 ).f(x2 ) < 0 nên phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc (x1,x2)

Do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) =  + \infty \) nên tồn tại một số b > x2 sao cho f(b) > 0

Vì f(x2 ).f(b) < 0 nên phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc (x2,b)

Do phương trình bậc ba có nhiều nhất là 3 nghiệm.

Vậy phương trình x3+px+q=0 có 3 nghiệm phân biệt.

Chú ý: Khẳng định trên đúng với phương trình bậc ba tổng quát.

LG c

Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt là: \(4{p^3} + 27{q^2} < 0\)

Lời giải chi tiết:

Điều kiện cần và đủ để phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt là: 

\(\left\{ \matrix{
p < 0 \hfill \cr 
Mm < 0 \hfill \cr} \right. \)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
p < 0\\
\left( {q - \frac{2}{3}p\sqrt { - \frac{p}{3}} } \right)\left( {q - \frac{2}{3}p\sqrt { - \frac{p}{3}} } \right) < 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
p < 0\\
{q^2} - \frac{4}{9}{p^2}\left( { - \frac{p}{3}} \right) < 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
p < 0\\
{q^2} + \frac{{4{p^3}}}{{27}} = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
p < 0\\
27{q^2} + 4{p^3} = 0
\end{array} \right.
\end{array}\)

Cách khác:

Gọi x1,x2 là hai điểm cực trị của hàm số.

Theo câu b, ta có điều kiện cần và đủ để phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt là giá trị cực đại và cực tiểu trái dấu nhau, nghĩa là yCD.yCT<0

<=> f(x1 ).f(x2 )<0

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.9 trên 8 phiếu
  • Bài 74 trang 62 SGK giải tích 12 nâng cao

    Cho hàm số: a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm uốn U của nó. c) Gọi là đường thẳng đi qua điểm U và có hệ số góc m. Tìm các giá trị của m sao cho đường thẳng cắt đồ thị của hàm số đã cho tại ba điểm phân biệt.

  • Bài 75 trang 62 SGK giải tích 12 nâng cao

    Cho hàm số: a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m = 2. b) Tìm các giá trị của m sao cho đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại bốn điểm, tạo thành ba đoạn thẳng có độ dài bằng nhau.

  • Bài 76 trang 62 SGK giải tích 12 nâng cao

    Cho hàm số a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho. b) Từ đồ thị của hàm số y = f(x) suy ra cách vẽ đồ thị của hàm số

  • Bài 77 trang 62 SGK giải tích 12 nâng cao

    Cho hàm số: a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m =1. b) Chứng minh rằng với mọi , các đường cong đều đi qua hai điểm cố định A và B.

  • Bài 78 trang 62 SGK giải tích 12 nâng cao

    a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số và đồ thị (H) của hàm số . b) Tìm giao điểm của hai đường cong (P) và (H). Chứng minh rằng hia đường cong đó có tiếp tuyến chung tại giao điểm của chúng. c) Xác định các khoảng trên đó (P) nằm phía trên hoặc phía dưới (H).

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2023 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.