Bài 78 trang 62 SGK giải tích 12 nâng cao


a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số và đồ thị (H) của hàm số . b) Tìm giao điểm của hai đường cong (P) và (H). Chứng minh rằng hia đường cong đó có tiếp tuyến chung tại giao điểm của chúng. c) Xác định các khoảng trên đó (P) nằm phía trên hoặc phía dưới (H).

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

LG a

Vẽ đồ thị (P) của hàm số \(y = {x^2} - x + 1\) và đồ thị (H) của hàm số \(y = {1 \over {x + 1}}\).

Lời giải chi tiết:

Vẽ (P):

(P) là parabol có đỉnh \(\left( {\frac{1}{2};\frac{3}{4}} \right)\), bề lõm hướng lên trên, đi qua điểm \(\left( {0;1} \right)\), \(\left( {1;1} \right)\)

Vẽ (H):

\(y' =  - \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} < 0,\forall x \ne  - 1\) nên hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right)\)

Đồ thị có TCĐ \(x =  - 1\), TCN \(y = 0\)

Đi qua các điểm \(\left( {0;1} \right),\left( { - 2; - 1} \right)\)

LG b

Tìm giao điểm của hai đường cong (P) và (H). Chứng minh rằng hai đường cong đó có tiếp tuyến chung tại giao điểm của chúng.

Lời giải chi tiết:

Hoành độ giao điểm của parabol (P) và hypebol (H) là nghiệm của phương trình:

\({x^2} - x + 1 = {1 \over {x + 1}} \) \(\Rightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right) = 1\)

\( \Leftrightarrow {x^3} + 1 = 1 \Leftrightarrow x = 0\)

\(\Rightarrow {y\left( 0 \right) = 1} \)

Giao điểm của (P) và (H) là A(0;1)

Đặt \(f\left( x \right) = {x^2} - x + 1;\,g\left( x \right) = {1 \over {x + 1}}\)

Ta có: \(f'\left( x \right) = 2x - 1;\,g'\left( x \right) =  - {1 \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)

\(f'\left( 0 \right) = g'\left( 0 \right) =  - 1\)

Suy ra (P) và (H) có tiếp tuyến chung tại A nên (P) và (H) tiếp xúc nhau tại điểm A.

Khi đó tiếp tuyến chung của (P) và (H) tại A(0;1) có hệ số góc k=-1 nên có phương trình:

y=-1(x-0)+1 hay y=-x+1.

Chú ý:

Việc tìm giao điểm có thể suy ra từ việc quan sát đồ thị ta cũng thấy giao điểm là (0;1).

LG c

Xác định các khoảng trên đó (P) nằm phía trên hoặc phía dưới (H).

Lời giải chi tiết:

Xét hiệu \(f\left( x \right) - g\left( x \right) = {x^2} - x +1 - {1 \over {x + 1}}\) \( = {{{x^3}} \over {x + 1}}\)

Bảng xét dấu f(x) – g(x)

Từ bảng xét dấu ta thấy,

\(f\left( x \right) > g\left( x \right)\) \( \Leftrightarrow f\left( x \right) - g\left( x \right) > 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x > 0\\
x < - 1
\end{array} \right.\)

Do đó, trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {0; + \infty } \right)\) thì (P) nằm phía trên (H).

\(f\left( x \right) < g\left( x \right)\) \( \Leftrightarrow f\left( x \right) - g\left( x \right) < 0\) \( \Leftrightarrow -1 < x < 0\) nên trên khoảng \(\left( { - 1;0} \right)\) thì (P) nằm phía dưới (H).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.4 trên 5 phiếu
  • Bài 79 trang 62 SGK giải tích 12 nâng cao

    Cho hàm số : a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tiếp tuyến của đường cong (C) tại điểm cắt tiệm cận đứng và tiệm cận xiên tại hai điểm A và B. Chứng minh rằng M là trung điểm của đoạn thẳng AB và tam giác OAB có diện tích không phụ thuộc vào vị trí điểm M trên đường cong (C).

  • Bài 77 trang 62 SGK giải tích 12 nâng cao

    Cho hàm số: a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m =1. b) Chứng minh rằng với mọi , các đường cong đều đi qua hai điểm cố định A và B.

  • Bài 76 trang 62 SGK giải tích 12 nâng cao

    Cho hàm số a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho. b) Từ đồ thị của hàm số y = f(x) suy ra cách vẽ đồ thị của hàm số

  • Bài 75 trang 62 SGK giải tích 12 nâng cao

    Cho hàm số: a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m = 2. b) Tìm các giá trị của m sao cho đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại bốn điểm, tạo thành ba đoạn thẳng có độ dài bằng nhau.

  • Bài 74 trang 62 SGK giải tích 12 nâng cao

    Cho hàm số: a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm uốn U của nó. c) Gọi là đường thẳng đi qua điểm U và có hệ số góc m. Tìm các giá trị của m sao cho đường thẳng cắt đồ thị của hàm số đã cho tại ba điểm phân biệt.

  • Bài 73 trang 62 SGK giải tích 12 nâng cao

    Cho hàm số a) Tìm điều kiện đối với p và q để hàm số f có một cực đại và một cực tiểu. b) Chứng minh rằng nếu giá trị cực đại và giá trị cực tiểu trái dấu thì phương trình: có ba nghiệm phân biệt. c) Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt là:

  • Bài 72 trang 62 SGK giải tích 12 nâng cao

    Cho hàm số: a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho. b) Chứng minh rằng phương trình f(x) =0 có ba nghiệm phân biệt.

  • Bài 71 trang 62 SGK giải tích 12 nâng cao

    Chu vi của một tam giác là 16cm, độ dài một cạnh tam giác là 6cm. Tìm độ dài hai cạnh còn lại của tam giác sao cho tam giác có diện tích lớn nhât.

  • Bài 70 trang 61 SGK giải tích 12 nâng cao

    Người ta định làm một cái hộp hình trụ bằng tôn có thể tích V cho trước. Tìm bán kính đáy r và chiều cao của hình trụ sao cho tốn ít nguyên liệu nhất.

  • Bài 69 trang 61 SGK giải tích 12 nâng cao

    Xét chiều biến thiên và tìm cực trị (nếu có) của các hàm số sau:

  • Bài 68 trang 61 SGK giải tích 12 nâng cao

    Chứng minh các bất đẳng thức sau:

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2022 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.


Hỏi bài