Bài 78 trang 62 SGK giải tích 12 nâng cao


a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số và đồ thị (H) của hàm số . b) Tìm giao điểm của hai đường cong (P) và (H). Chứng minh rằng hia đường cong đó có tiếp tuyến chung tại giao điểm của chúng. c) Xác định các khoảng trên đó (P) nằm phía trên hoặc phía dưới (H).

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

LG a

Vẽ đồ thị (P) của hàm số \(y = {x^2} - x + 1\) và đồ thị (H) của hàm số \(y = {1 \over {x + 1}}\).

Lời giải chi tiết:

Vẽ (P):

(P) là parabol có đỉnh \(\left( {\frac{1}{2};\frac{3}{4}} \right)\), bề lõm hướng lên trên, đi qua điểm \(\left( {0;1} \right)\), \(\left( {1;1} \right)\)

Vẽ (H):

\(y' =  - \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} < 0,\forall x \ne  - 1\) nên hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right)\)

Đồ thị có TCĐ \(x =  - 1\), TCN \(y = 0\)

Đi qua các điểm \(\left( {0;1} \right),\left( { - 2; - 1} \right)\)

LG b

Tìm giao điểm của hai đường cong (P) và (H). Chứng minh rằng hai đường cong đó có tiếp tuyến chung tại giao điểm của chúng.

Lời giải chi tiết:

Hoành độ giao điểm của parabol (P) và hypebol (H) là nghiệm của phương trình:

\({x^2} - x + 1 = {1 \over {x + 1}} \) \(\Rightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right) = 1\)

\( \Leftrightarrow {x^3} + 1 = 1 \Leftrightarrow x = 0\)

\(\Rightarrow {y\left( 0 \right) = 1} \)

Giao điểm của (P) và (H) là A(0;1)

Đặt \(f\left( x \right) = {x^2} - x + 1;\,g\left( x \right) = {1 \over {x + 1}}\)

Ta có: \(f'\left( x \right) = 2x - 1;\,g'\left( x \right) =  - {1 \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)

\(f'\left( 0 \right) = g'\left( 0 \right) =  - 1\)

Suy ra (P) và (H) có tiếp tuyến chung tại A nên (P) và (H) tiếp xúc nhau tại điểm A.

Khi đó tiếp tuyến chung của (P) và (H) tại A(0;1) có hệ số góc k=-1 nên có phương trình:

y=-1(x-0)+1 hay y=-x+1.

Chú ý:

Việc tìm giao điểm có thể suy ra từ việc quan sát đồ thị ta cũng thấy giao điểm là (0;1).

LG c

Xác định các khoảng trên đó (P) nằm phía trên hoặc phía dưới (H).

Lời giải chi tiết:

Xét hiệu \(f\left( x \right) - g\left( x \right) = {x^2} - x +1 - {1 \over {x + 1}}\) \( = {{{x^3}} \over {x + 1}}\)

Bảng xét dấu f(x) – g(x)

Từ bảng xét dấu ta thấy,

\(f\left( x \right) > g\left( x \right)\) \( \Leftrightarrow f\left( x \right) - g\left( x \right) > 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x > 0\\
x < - 1
\end{array} \right.\)

Do đó, trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {0; + \infty } \right)\) thì (P) nằm phía trên (H).

\(f\left( x \right) < g\left( x \right)\) \( \Leftrightarrow f\left( x \right) - g\left( x \right) < 0\) \( \Leftrightarrow -1 < x < 0\) nên trên khoảng \(\left( { - 1;0} \right)\) thì (P) nằm phía dưới (H).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.4 trên 5 phiếu

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài