Bài 74 trang 62 SGK giải tích 12 nâng cao


Cho hàm số: a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm uốn U của nó. c) Gọi là đường thẳng đi qua điểm U và có hệ số góc m. Tìm các giá trị của m sao cho đường thẳng cắt đồ thị của hàm số đã cho tại ba điểm phân biệt.

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho hàm số: \(f\left( x \right) = {x^3} - 3x + 1\)

LG a

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.

Lời giải chi tiết:

Tập xác định \(D=\mathbb R\)

\(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 3\)

\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1 \hfill \cr 
x = - 1 \hfill \cr} \right.\)

Hàm số đồng biến trên khoảng: \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \( \left( {1; + \infty } \right)\)

 Hàm số nghịch biến trên khoảng \((-1;1)\)

+) Cực trị:

 Hàm số đạt cực đại tại \(x=-1;y(-1)=3\)

 Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=1; y(1)=-1\)

+) Giới hạn:

\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = + \infty \cr 
& \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = - \infty \cr} \)

 Bảng biến thiên:

Đồ thị

Đồ thị giao trục \(Oy\) tại điểm \((0;1)\)

Hàm số đồ thị nhận \(I(0;1)\)  làm tâm đối xứng

LG b

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm uốn U của nó.

Lời giải chi tiết:

\(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 3\)

\(f''\left( x \right)=6x\)

\(f''\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0; f'(0)=-3\)

\(f\left( 0 \right) = 1\). Điểm uốn U(0;1)

Phương tiếp tuyến của (C) tại U là:

\(y - 1 = f'\left( 0 \right)\left( {x - 0} \right)\) \( \Leftrightarrow y =  - 3x + 1\)

LG c

Gọi \(\left( {{d_m}} \right)\) là đường thẳng đi qua điểm U và có hệ số góc m. Tìm các giá trị của m sao cho đường thẳng \(\left( {{d_m}} \right)\) cắt đồ thị của hàm số đã cho tại ba điểm phân biệt.

Lời giải chi tiết:

Phương trình đường thẳng \(\left( {{d_m}} \right)\) là y = mx +1.

Hoành độ giao điểm của đường thẳng \(\left( {{d_m}} \right)\) và đường cong (C) là nghiệm của phương trình

\({x^3} - 3x + 1 = mx + 1\) \( \Leftrightarrow {x^3} - \left( {m + 3} \right)x = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0 \hfill \cr 
{x^2} = m + 3 \,\,(2)\hfill \cr} \right.\)

\(\left( {{d_m}} \right)\) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi (1) có 3 nghiệm phân biệt

\( \Leftrightarrow \left( 2 \right)\) có hai nghiệm phân biệt khác 0, tức \(m + 3 > 0 \Leftrightarrow m >  - 3\)

Chú ý:

ĐK tổng quát các em có thể dùng: 

(1) có 3 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \left( 2 \right)\) có hai nghiệm phân biệt khác 0

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\f\left( 0 \right) \ne 0\end{array} \right.\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.8 trên 4 phiếu
  • Bài 75 trang 62 SGK giải tích 12 nâng cao

    Cho hàm số: a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m = 2. b) Tìm các giá trị của m sao cho đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại bốn điểm, tạo thành ba đoạn thẳng có độ dài bằng nhau.

  • Bài 76 trang 62 SGK giải tích 12 nâng cao

    Cho hàm số a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho. b) Từ đồ thị của hàm số y = f(x) suy ra cách vẽ đồ thị của hàm số

  • Bài 77 trang 62 SGK giải tích 12 nâng cao

    Cho hàm số: a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m =1. b) Chứng minh rằng với mọi , các đường cong đều đi qua hai điểm cố định A và B.

  • Bài 78 trang 62 SGK giải tích 12 nâng cao

    a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số và đồ thị (H) của hàm số . b) Tìm giao điểm của hai đường cong (P) và (H). Chứng minh rằng hia đường cong đó có tiếp tuyến chung tại giao điểm của chúng. c) Xác định các khoảng trên đó (P) nằm phía trên hoặc phía dưới (H).

  • Bài 79 trang 62 SGK giải tích 12 nâng cao

    Cho hàm số : a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tiếp tuyến của đường cong (C) tại điểm cắt tiệm cận đứng và tiệm cận xiên tại hai điểm A và B. Chứng minh rằng M là trung điểm của đoạn thẳng AB và tam giác OAB có diện tích không phụ thuộc vào vị trí điểm M trên đường cong (C).

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2023 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.