Bài 74 trang 62 SGK giải tích 12 nâng cao


Cho hàm số: a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm uốn U của nó. c) Gọi là đường thẳng đi qua điểm U và có hệ số góc m. Tìm các giá trị của m sao cho đường thẳng cắt đồ thị của hàm số đã cho tại ba điểm phân biệt.

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho hàm số: \(f\left( x \right) = {x^3} - 3x + 1\)

LG a

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.

Lời giải chi tiết:

Tập xác định \(D=\mathbb R\)

\(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 3\)

\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1 \hfill \cr 
x = - 1 \hfill \cr} \right.\)

Hàm số đồng biến trên khoảng: \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \( \left( {1; + \infty } \right)\)

 Hàm số nghịch biến trên khoảng \((-1;1)\)

+) Cực trị:

 Hàm số đạt cực đại tại \(x=-1;y(-1)=3\)

 Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=1; y(1)=-1\)

+) Giới hạn:

\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = + \infty \cr 
& \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = - \infty \cr} \)

 Bảng biến thiên:

Đồ thị

Đồ thị giao trục \(Oy\) tại điểm \((0;1)\)

Hàm số đồ thị nhận \(I(0;1)\)  làm tâm đối xứng

LG b

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm uốn U của nó.

Lời giải chi tiết:

\(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 3\)

\(f''\left( x \right)=6x\)

\(f''\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0\)

\(f\left( 0 \right) = 0\). Điểm uốn U(0;1)

Phương tiếp tuyến của (C) tại U là:

\(y - 1 = f'\left( 0 \right)\left( {x - 0} \right)\) \( \Leftrightarrow y =  - 3x + 1\)

LG c

Gọi \(\left( {{d_m}} \right)\) là đường thẳng đi qua điểm U và có hệ số góc m. Tìm các giá trị của m sao cho đường thẳng \(\left( {{d_m}} \right)\) cắt đồ thị của hàm số đã cho tại ba điểm phân biệt.

Lời giải chi tiết:

Phương trình đường thẳng \(\left( {{d_m}} \right)\) là y = mx +1.

Hoành độ giao điểm của đường thẳng \(\left( {{d_m}} \right)\) và đường cong (C) là nghiệm của phương trình

\({x^3} - 3x + 1 = mx + 1\) \( \Leftrightarrow {x^3} - \left( {m + 3} \right)x = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0 \hfill \cr 
{x^2} = m + 3 \,\,(2)\hfill \cr} \right.\)

\(\left( {{d_m}} \right)\) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi (1) có 3 nghiệm phân biệt

\( \Leftrightarrow \left( 2 \right)\) có hai nghiệm phân biệt khác 0, tức \(m + 3 > 0 \Leftrightarrow m >  - 3\)

Chú ý:

ĐK tổng quát các em có thể dùng: 

(1) có 3 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \left( 2 \right)\) có hai nghiệm phân biệt khác 0

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\f\left( 0 \right) \ne 0\end{array} \right.\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.8 trên 4 phiếu

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài