Bài 77 trang 62 SGK giải tích 12 nâng cao


Cho hàm số: a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m =1. b) Chứng minh rằng với mọi , các đường cong đều đi qua hai điểm cố định A và B.

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho hàm số: \(y = {{x - 4m} \over {2\left( {mx - 1} \right)}}.\,\,\,\left( {{H_m}} \right)\)

LG a

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m =1.

Lời giải chi tiết:

Với m=1 hàm số có dạng: \(y = {{x - 4} \over {2x - 2}}\)

Tập xác định: \(D = R\backslash \left\{ 1 \right\}\)

\(y' = {6 \over {{{\left( {2x - 2} \right)}^2}}} > 0\,,\forall x \in D\)

Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\)

Hàm số không có cực trị

Giới hạn:

\(\mathop {\lim y}\limits_{x \to {1^ - }}  =  + \infty ;\mathop {\lim y}\limits_{x \to {1^ + }}  =  - \infty \)

Đường tiệm cận đứng: \(x=1\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } y = {1 \over 2}\)

Đường tiệm cận ngang \(y={1 \over 2}\)

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

Đồ thị giao Ox, Oy tại các điểm: (4;0); (0;2)

LG b

Chứng minh rằng với mọi \(m \ne  \pm {1 \over 2}\), các đường cong \(\left( {{H_m}} \right)\) đều đi qua hai điểm cố định A và B.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(M\left( {{x_o};{y_o}} \right)\) là một điểm bất kì của mặt phẳng tọa độ.

Đường cong \(\left( {{H_m}} \right)\) đi qua điểm M khi và chỉ khi \((x_o;y_o)\) thỏa mãn \({{{x_o} - 4m} \over {2\left( {m{x_o} - 1} \right)}} = {y_o}\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
m{x_o} - 1 \ne 0 \hfill \cr 
2{y_o}\left( {m{x_o} - 1} \right) = {x_o} - 4m \hfill \cr} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
m{x_o} \ne 1\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \hfill \cr 
\left( {2{x_o}{y_o} + 4} \right)m - {x_o} - 2{y_o} = 0\,\left( 2 \right) \hfill \cr} \right.\)

Mọi đường cong \(\left( {{H_m}} \right)\) với \(m \ne  \pm {1 \over 2}\) đều đi qua điểm \(M\left( {{x_o};{y_o}} \right)\) khi và chỉ khi hệ phương trình trên nghiệm đúng với mọi \(m \ne  \pm {1 \over 2}\).

Phương trình (2) nghiệm đúng với mọi m khi và chỉ khi

\(\left\{ \matrix{
2{x_o}{y_o} + 4 = 0 \hfill \cr 
-{x_o} - 2{y_o} = 0 \hfill \cr} \right. \)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2{x_o}{y_o} + 4 = 0\\
{x_o} = - 2{y_o}
\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
- 4y_o^2 + 4 = 0\\
{x_o} = - 2{y_o}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{y_o} = \pm 1\\
{x_o} = - 2{y_o}
\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x_o} = - 2 \hfill \cr 
{y_o} = 1 \hfill \cr} \right.\,\,hoac\,\,\left\{ \matrix{
{x_o} = 2 \hfill \cr 
{y_o} = - 1 \hfill \cr} \right.\)

Vậy \(\left( {{x_o};{y_o}} \right)\) =(-2;1) và \(\left( {{x_o};{y_o}} \right)\)=(2;-1)

Ta kiểm tra điều kiện (1)
• Với \({x_o} =  - 2\), ta có \(m \ne  - {1 \over 2}\)

•Với \({x_o} = 2\), ta có \(m \ne {1 \over 2}\)

Vậy mọi đường cong \(\left( {{H_m}} \right)\) với \(m \ne  \pm {1 \over 2}\) đều đi qua hai điểm cố định A(-2; 1) và B(2; - 1).

LG c

Chứng minh rằng tích các hệ số góc của tiếp tuyến với (\(H_m\)) tại hai điểm A và B là một hằng số khi m biến thiên.

Lời giải chi tiết:

Ta có \(y' = {{4{m^2} - 1} \over {2{{\left( {mx - 1} \right)}^2}}}\)

Hệ số góc tiếp tuyến với \(\left( {{H_m}} \right)\) tại A(-2; 1) và \(B(2; - 1)\) là y’(-2) và y'(2).

Ta có tích hai hệ số góc tiếp tuyến tại A và B là:

\(y'\left( { - 2} \right).y'\left( 2 \right) \) \(= {{4{m^2} - 1} \over {2{{\left( {-2m - 1} \right)}^2}}}.{{4{m^2} - 1} \over {2{{\left( {2m - 1} \right)}^2}}} \) \(= {1 \over 4}\) là hằng số.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.4 trên 5 phiếu

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài