Bài 77 trang 62 SGK giải tích 12 nâng cao


Cho hàm số: a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m =1. b) Chứng minh rằng với mọi , các đường cong đều đi qua hai điểm cố định A và B.

Tổng hợp đề thi giữa kì 2 lớp 12 tất cả các môn

Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh - Sử - Địa - GDCD

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho hàm số: \(y = {{x - 4m} \over {2\left( {mx - 1} \right)}}.\,\,\,\left( {{H_m}} \right)\)

LG a

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m =1.

Lời giải chi tiết:

Với m=1 hàm số có dạng: \(y = {{x - 4} \over {2x - 2}}\)

Tập xác định: \(D = R\backslash \left\{ 1 \right\}\)

\(y' = {6 \over {{{\left( {2x - 2} \right)}^2}}} > 0\,,\forall x \in D\)

Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\)

Hàm số không có cực trị

Giới hạn:

\(\mathop {\lim y}\limits_{x \to {1^ - }}  =  + \infty ;\mathop {\lim y}\limits_{x \to {1^ + }}  =  - \infty \)

Đường tiệm cận đứng: \(x=1\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } y = {1 \over 2}\)

Đường tiệm cận ngang \(y={1 \over 2}\)

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

Đồ thị giao Ox, Oy tại các điểm: (4;0); (0;2)

LG b

Chứng minh rằng với mọi \(m \ne  \pm {1 \over 2}\), các đường cong \(\left( {{H_m}} \right)\) đều đi qua hai điểm cố định A và B.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(M\left( {{x_o};{y_o}} \right)\) là một điểm bất kì của mặt phẳng tọa độ.

Đường cong \(\left( {{H_m}} \right)\) đi qua điểm M khi và chỉ khi \((x_o;y_o)\) thỏa mãn \({{{x_o} - 4m} \over {2\left( {m{x_o} - 1} \right)}} = {y_o}\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
m{x_o} - 1 \ne 0 \hfill \cr 
2{y_o}\left( {m{x_o} - 1} \right) = {x_o} - 4m \hfill \cr} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
m{x_o} \ne 1\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \hfill \cr 
\left( {2{x_o}{y_o} + 4} \right)m - {x_o} - 2{y_o} = 0\,\left( 2 \right) \hfill \cr} \right.\)

Mọi đường cong \(\left( {{H_m}} \right)\) với \(m \ne  \pm {1 \over 2}\) đều đi qua điểm \(M\left( {{x_o};{y_o}} \right)\) khi và chỉ khi hệ phương trình trên nghiệm đúng với mọi \(m \ne  \pm {1 \over 2}\).

Phương trình (2) nghiệm đúng với mọi m khi và chỉ khi

\(\left\{ \matrix{
2{x_o}{y_o} + 4 = 0 \hfill \cr 
-{x_o} - 2{y_o} = 0 \hfill \cr} \right. \)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2{x_o}{y_o} + 4 = 0\\
{x_o} = - 2{y_o}
\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
- 4y_o^2 + 4 = 0\\
{x_o} = - 2{y_o}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{y_o} = \pm 1\\
{x_o} = - 2{y_o}
\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x_o} = - 2 \hfill \cr 
{y_o} = 1 \hfill \cr} \right.\,\,hoac\,\,\left\{ \matrix{
{x_o} = 2 \hfill \cr 
{y_o} = - 1 \hfill \cr} \right.\)

Vậy \(\left( {{x_o};{y_o}} \right)\) =(-2;1) và \(\left( {{x_o};{y_o}} \right)\)=(2;-1)

Ta kiểm tra điều kiện (1)
• Với \({x_o} =  - 2\), ta có \(m \ne  - {1 \over 2}\)

•Với \({x_o} = 2\), ta có \(m \ne {1 \over 2}\)

Vậy mọi đường cong \(\left( {{H_m}} \right)\) với \(m \ne  \pm {1 \over 2}\) đều đi qua hai điểm cố định A(-2; 1) và B(2; - 1).

LG c

Chứng minh rằng tích các hệ số góc của tiếp tuyến với (\(H_m\)) tại hai điểm A và B là một hằng số khi m biến thiên.

Lời giải chi tiết:

Ta có \(y' = {{4{m^2} - 1} \over {2{{\left( {mx - 1} \right)}^2}}}\)

Hệ số góc tiếp tuyến với \(\left( {{H_m}} \right)\) tại A(-2; 1) và \(B(2; - 1)\) là y’(-2) và y'(2).

Ta có tích hai hệ số góc tiếp tuyến tại A và B là:

\(y'\left( { - 2} \right).y'\left( 2 \right) \) \(= {{4{m^2} - 1} \over {2{{\left( {-2m - 1} \right)}^2}}}.{{4{m^2} - 1} \over {2{{\left( {2m - 1} \right)}^2}}} \) \(= {1 \over 4}\) là hằng số.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.4 trên 5 phiếu
  • Bài 78 trang 62 SGK giải tích 12 nâng cao

    a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số và đồ thị (H) của hàm số . b) Tìm giao điểm của hai đường cong (P) và (H). Chứng minh rằng hia đường cong đó có tiếp tuyến chung tại giao điểm của chúng. c) Xác định các khoảng trên đó (P) nằm phía trên hoặc phía dưới (H).

  • Bài 79 trang 62 SGK giải tích 12 nâng cao

    Cho hàm số : a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tiếp tuyến của đường cong (C) tại điểm cắt tiệm cận đứng và tiệm cận xiên tại hai điểm A và B. Chứng minh rằng M là trung điểm của đoạn thẳng AB và tam giác OAB có diện tích không phụ thuộc vào vị trí điểm M trên đường cong (C).

  • Bài 76 trang 62 SGK giải tích 12 nâng cao

    Cho hàm số a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho. b) Từ đồ thị của hàm số y = f(x) suy ra cách vẽ đồ thị của hàm số

  • Bài 75 trang 62 SGK giải tích 12 nâng cao

    Cho hàm số: a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m = 2. b) Tìm các giá trị của m sao cho đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại bốn điểm, tạo thành ba đoạn thẳng có độ dài bằng nhau.

  • Bài 74 trang 62 SGK giải tích 12 nâng cao

    Cho hàm số: a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm uốn U của nó. c) Gọi là đường thẳng đi qua điểm U và có hệ số góc m. Tìm các giá trị của m sao cho đường thẳng cắt đồ thị của hàm số đã cho tại ba điểm phân biệt.

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.