Bài 70 trang 61 SGK giải tích 12 nâng cao


Người ta định làm một cái hộp hình trụ bằng tôn có thể tích V cho trước. Tìm bán kính đáy r và chiều cao của hình trụ sao cho tốn ít nguyên liệu nhất.

Đề bài

Người ta định làm một cái hộp hình trụ bằng tôn có thể tích \(V\) cho trước. Tìm bán kính đáy \(r\) và chiều cao của hình trụ sao cho tốn ít nguyên liệu nhất.

Lời giải chi tiết

Thể tích của hình trụ là: \(V = B.h = \pi {r^2}.h \Rightarrow h = {V \over {\pi {r^2}}}\)

Diện tích toàn phần của hình trụ là:

\(S = 2\pi {r^2} + 2\pi r.h = 2\pi {r^2} + 2\pi .r.{V \over {\pi {r^2}}} \) \(= 2\pi {r^2} + {{2V} \over r}\)

Xét hàm số: 

\(\eqalign{
& S\left( r \right) = 2\pi {r^2} + {{2V} \over r}\,\,\left( {r > 0} \right) \cr 
& S' = 4\pi r - {{2V} \over {{r^2}}} = {{4\pi {r^3} - 2V} \over {{r^2}}} \cr 
& S' = 0 \Leftrightarrow 4\pi {r^3} - 2V = 0\cr& \Leftrightarrow {r^3} = \frac{V}{{2\pi }} \Leftrightarrow r = \root 3 \of {{V \over {2\pi }}} \cr} \)

Bảng biến thiên: 

\(S\) đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm \(r = \root 3 \of {{V \over {2\pi }}} \) khi đó \(h = {V \over {\pi {r^2}}} = {V \over {\pi \root 3 \of {{{{V^2}} \over {4{\pi ^2}}}} }} = \root 3 \of {{{4V} \over \pi }} \)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.1 trên 7 phiếu

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài