Bài 70 trang 61 SGK giải tích 12 nâng cao


Đề bài

Người ta định làm một cái hộp hình trụ bằng tôn có thể tích \(V\) cho trước. Tìm bán kính đáy \(r\) và chiều cao của hình trụ sao cho tốn ít nguyên liệu nhất.

Lời giải chi tiết

Thể tích của hình trụ là: \(V = B.h = \pi {r^2}.h \Rightarrow h = {V \over {\pi {r^2}}}\)

Diện tích toàn phần của hình trụ là:

\(S = 2\pi {r^2} + 2\pi r.h = 2\pi {r^2} + 2\pi .r.{V \over {\pi {r^2}}} \) \(= 2\pi {r^2} + {{2V} \over r}\)

Xét hàm số: 

\(\eqalign{
& S\left( r \right) = 2\pi {r^2} + {{2V} \over r}\,\,\left( {r > 0} \right) \cr 
& S' = 4\pi r - {{2V} \over {{r^2}}} = {{4\pi {r^3} - 2V} \over {{r^2}}} \cr 
& S' = 0 \Leftrightarrow 4\pi {r^3} - 2V = 0\cr& \Leftrightarrow {r^3} = \frac{V}{{2\pi }} \Leftrightarrow r = \root 3 \of {{V \over {2\pi }}} \cr} \)

Bảng biến thiên: 

\(S\) đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm \(r = \root 3 \of {{V \over {2\pi }}} \) khi đó \(h = {V \over {\pi {r^2}}} = {V \over {\pi \root 3 \of {{{{V^2}} \over {4{\pi ^2}}}} }} = \root 3 \of {{{4V} \over \pi }} \)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.1 trên 7 phiếu
  • Bài 71 trang 62 SGK giải tích 12 nâng cao

    Chu vi của một tam giác là 16cm, độ dài một cạnh tam giác là 6cm. Tìm độ dài hai cạnh còn lại của tam giác sao cho tam giác có diện tích lớn nhât.

  • Bài 72 trang 62 SGK giải tích 12 nâng cao

    Cho hàm số: a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho. b) Chứng minh rằng phương trình f(x) =0 có ba nghiệm phân biệt.

  • Bài 73 trang 62 SGK giải tích 12 nâng cao

    Cho hàm số a) Tìm điều kiện đối với p và q để hàm số f có một cực đại và một cực tiểu. b) Chứng minh rằng nếu giá trị cực đại và giá trị cực tiểu trái dấu thì phương trình: có ba nghiệm phân biệt. c) Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt là:

  • Bài 74 trang 62 SGK giải tích 12 nâng cao

    Cho hàm số: a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm uốn U của nó. c) Gọi là đường thẳng đi qua điểm U và có hệ số góc m. Tìm các giá trị của m sao cho đường thẳng cắt đồ thị của hàm số đã cho tại ba điểm phân biệt.

  • Bài 75 trang 62 SGK giải tích 12 nâng cao

    Cho hàm số: a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m = 2. b) Tìm các giá trị của m sao cho đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại bốn điểm, tạo thành ba đoạn thẳng có độ dài bằng nhau.

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2023 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.