Giải bài tập Toán 12 Nâng cao, Toán 12 Nâng cao, đầy đủ giải tích và hình học Câu hỏi và bài tập chương I - Ứng dụng đạo hàm để khảo ..

Bài 78 trang 62 SGK giải tích 12 nâng cao


a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số và đồ thị (H) của hàm số . b) Tìm giao điểm của hai đường cong (P) và (H). Chứng minh rằng hia đường cong đó có tiếp tuyến chung tại giao điểm của chúng. c) Xác định các khoảng trên đó (P) nằm phía trên hoặc phía dưới (H).

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

LG a

Vẽ đồ thị (P) của hàm số \(y = {x^2} - x + 1\) và đồ thị (H) của hàm số \(y = {1 \over {x + 1}}\).

Lời giải chi tiết:

Vẽ (P):

(P) là parabol có đỉnh \(\left( {\frac{1}{2};\frac{3}{4}} \right)\), bề lõm hướng lên trên, đi qua điểm \(\left( {0;1} \right)\), \(\left( {1;1} \right)\)

Vẽ (H):

\(y' =  - \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} < 0,\forall x \ne  - 1\) nên hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right)\)

Đồ thị có TCĐ \(x =  - 1\), TCN \(y = 0\)

Đi qua các điểm \(\left( {0;1} \right),\left( { - 2; - 1} \right)\)

LG b

Tìm giao điểm của hai đường cong (P) và (H). Chứng minh rằng hai đường cong đó có tiếp tuyến chung tại giao điểm của chúng.

Lời giải chi tiết:

Hoành độ giao điểm của parabol (P) và hypebol (H) là nghiệm của phương trình:

\({x^2} - x + 1 = {1 \over {x + 1}} \) \(\Rightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right) = 1\)

\( \Leftrightarrow {x^3} + 1 = 1 \Leftrightarrow x = 0\)

\(\Rightarrow {y\left( 0 \right) = 1} \)

Giao điểm của (P) và (H) là A(0;1)

Đặt \(f\left( x \right) = {x^2} - x + 1;\,g\left( x \right) = {1 \over {x + 1}}\)

Ta có: \(f'\left( x \right) = 2x - 1;\,g'\left( x \right) =  - {1 \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)

\(f'\left( 0 \right) = g'\left( 0 \right) =  - 1\)

Suy ra (P) và (H) có tiếp tuyến chung tại A nên (P) và (H) tiếp xúc nhau tại điểm A.

Khi đó tiếp tuyến chung của (P) và (H) tại A(0;1) có hệ số góc k=-1 nên có phương trình:

y=-1(x-0)+1 hay y=-x+1.

Chú ý:

Việc tìm giao điểm có thể suy ra từ việc quan sát đồ thị ta cũng thấy giao điểm là (0;1).

LG c

Xác định các khoảng trên đó (P) nằm phía trên hoặc phía dưới (H).

Lời giải chi tiết:

Xét hiệu \(f\left( x \right) - g\left( x \right) = {x^2} - x +1 - {1 \over {x + 1}}\) \( = {{{x^3}} \over {x + 1}}\)

Bảng xét dấu f(x) – g(x)

Từ bảng xét dấu ta thấy,

\(f\left( x \right) > g\left( x \right)\) \( \Leftrightarrow f\left( x \right) - g\left( x \right) > 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x > 0\\
x < - 1
\end{array} \right.\)

Do đó, trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {0; + \infty } \right)\) thì (P) nằm phía trên (H).

\(f\left( x \right) < g\left( x \right)\) \( \Leftrightarrow f\left( x \right) - g\left( x \right) < 0\) \( \Leftrightarrow -1 < x < 0\) nên trên khoảng \(\left( { - 1;0} \right)\) thì (P) nằm phía dưới (H).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.4 trên 5 phiếu
Bài tiếp theo
  • Bài 79 trang 62 SGK giải tích 12 nâng cao

    Cho hàm số : a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tiếp tuyến của đường cong (C) tại điểm cắt tiệm cận đứng và tiệm cận xiên tại hai điểm A và B. Chứng minh rằng M là trung điểm của đoạn thẳng AB và tam giác OAB có diện tích không phụ thuộc vào vị trí điểm M trên đường cong (C).

  • Bài 77 trang 62 SGK giải tích 12 nâng cao

    Cho hàm số: a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m =1. b) Chứng minh rằng với mọi , các đường cong đều đi qua hai điểm cố định A và B.

  • Bài 76 trang 62 SGK giải tích 12 nâng cao

    Cho hàm số a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho. b) Từ đồ thị của hàm số y = f(x) suy ra cách vẽ đồ thị của hàm số

  • Bài 75 trang 62 SGK giải tích 12 nâng cao

    Cho hàm số: a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m = 2. b) Tìm các giá trị của m sao cho đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại bốn điểm, tạo thành ba đoạn thẳng có độ dài bằng nhau.

  • Bài 74 trang 62 SGK giải tích 12 nâng cao

    Cho hàm số: a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm uốn U của nó. c) Gọi là đường thẳng đi qua điểm U và có hệ số góc m. Tìm các giá trị của m sao cho đường thẳng cắt đồ thị của hàm số đã cho tại ba điểm phân biệt.

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store