Bài 56 trang 109 SBT Hình học 10 Nâng cao


Giải bài tập Bài 56 trang 109 SBT Hình học 10 Nâng cao

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho hai đường tròn

\(({C_1}): {x^2} + {y^2} - 4x - 8y + 11 = 0 ; \)

\( ({C_1}):  {x^2} + {y^2} - 2x - 2y - 2 = 0\).

LG a

Xét vị trí tương đối của \((C_1)\) và \((C_2)\).

Lời giải chi tiết:

\((C_1)\) có tâm \(I_1(2 ; 4)\), bán kính \({R_1} = \sqrt {{2^2} + {4^2} - 11}  = 3\).

\((C_2)\) có tâm \(I_2(1 ; 1)\), bán kính \({R_2} = \sqrt {{1^2} + {1^2} + 2}  = 2\).

\(1 = |{R_1} - {R_2}| < {I_1}{I_2}\)

\(= \sqrt {{{(1 - 2)}^2} + {{(1 - 4)}^2}}\)

\(  = \sqrt {10}  < {R_1} + {R_2} = 5\).

Suy ra \((C_1)\) và \((C_2)\) cắt nhau.

LG b

Viết phương trình tiếp tuyến chung của \((C_1)\) và \((C_2).\)

Lời giải chi tiết:

(h.107).

 

Theo câu a), \((C_1)\) và \((C_2)\) cắt nhau nên chúng có hai tiếp tuyến chung. Tiếp tuyến chung \(\Delta \) có phương trình : \(\alpha x + \beta y + \gamma  = 0  ({\alpha ^2} + {\beta ^2} > 0)\).

\(\Delta \) tiếp xúc với \((C_1)\) và \((C_2)\) khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}d({I_1} ; \Delta ) = {R_1}\\d({I_2} ; \Delta ) = {R_2}\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow    \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{{|2\alpha  + 4\beta  + \gamma |}}{{\sqrt {{\alpha ^2} + {\beta ^2}} }} = 3                      (1)\\ \dfrac{{|\alpha  + \beta  + \gamma |}}{{\sqrt {{\alpha ^2} + {\beta ^2}} }} = 2                           (2)\end{array} \right.\\ \Rightarrow    2|2\alpha  + 4\beta  + \gamma | = 3|\alpha  + \beta  + \gamma |\\ \Leftrightarrow   4\alpha  + 8\beta  + 2\gamma  =  \pm (3\alpha  + 3\beta  + 3\gamma )\\ \Leftrightarrow   \left[ \begin{array}{l}\gamma  = \alpha  + 5\beta \\\gamma  =  -  \dfrac{{7\alpha  + 11\beta }}{5}.\end{array} \right.\end{array}\)

Thay \(\gamma  = \alpha  + 5\beta \) vào (2) ta có:

\( \dfrac{{|2\alpha  + 6\beta |}}{{\sqrt {{\alpha ^2} + {\beta ^2}} }} = 2\)

\(    \Leftrightarrow    {(\alpha  + 3\beta )^2} = {a^2} + {\beta ^2} \)

\(  \Leftrightarrow    2\beta (4\beta  + 3\alpha ) = 0\)

\( \Leftrightarrow    \beta  = 0\) hoặc \(4\beta  =  - 3\alpha \).

Với \(\beta  = 0\)( do đó \(\alpha  \ne 0\)), suy ra \(\gamma  = \alpha \). Ta có tiếp tuyến chung thứ nhất

\({\Delta _1}:  x + 1 = 0\).

Với \(4\beta  =  - 3\alpha \), chọn \(\alpha  = 4, \beta  =  - 3\), ta được \(\gamma  =  - 11\). Ta có tiếp tuyến chung thứ hai

\({\Delta _2}:  4x - 3y - 11 = 0\).

Thay \(\gamma  =  -  \dfrac{{7\alpha  + 11\beta }}{5}\) vào (2), ta có

\( \dfrac{{|2\alpha  + 6\beta |}}{{5\sqrt {{\alpha ^2} + {\beta ^2}} }} = 2 \)

\(   \Leftrightarrow   {(\alpha  + 3\beta )^2} = 25({\alpha ^2} + {\beta ^2})\)

\(    \Leftrightarrow   12{\alpha ^2} - 3\alpha \beta  + 8{\beta ^2} = 0\), phương trìn vô nghiệm.

Vậy \((C_1)\) và \((C_2)\) có hai tiếp tuyến chung là

\(\begin{array}{l}{\Delta _1}:  x + 1 = 0;\\{\Delta _2}:  4x - 3y - 11 = 0.\end{array}\)

Loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Các bài liên quan: - Bài 4. Đường tròn.

>> Học trực tuyến Lớp 11 năm học mới trên Tuyensinh247.com, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu


Gửi bài