Giải bài tập Toán 12 Nâng cao, Toán 12 Nâng cao, đầy đủ giải tích và hình học Bài 3. Phương trình đường thẳng

Bài 35 SGK trang 104 Hình học 12 Nâng cao


Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng sau:

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng sau:

LG a

\(d:\left\{ \matrix{
x = 1 + t \hfill \cr 
y = - 1 - t \hfill \cr 
z = 1 \hfill \cr} \right.\) và

\(d':\left\{ \matrix{
x = {2 - 3t'} \hfill \cr 
y ={ - 2 + 3t'} \hfill \cr 
z = 3 \hfill \cr} \right.\)

Phương pháp giải:

- Chứng minh d//d'

- Tính d(d,d')=d(M,d').

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng d đi qua \({M_1}\left( {1; - 1;1} \right)\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {1; - 1;0} \right)\).
Đường thẳng d’ đi qua điểm \({M_2}\left( {2; - 2;3} \right)\), có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} \left( { - 1;1;0} \right)\). Vì \(\overrightarrow {{u_1}} \) và \(\overrightarrow {{u_2}} \) cùng phương nhưng \(\overrightarrow {{u_1}} \); \(\overrightarrow {{u_2}} \) không cùng phương với \(\overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = \left( {1; - 1;2} \right)\) nên hai đường thẳng đó song song.

Vậy khoảng cách giữa d và d’ là khoảng cách từ \(M_1\)(1, -1, 1) ∈ d đến đường thẳng d’ và bằng : \(d = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{M_1}{M_2}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|}}\)

Ta có: \(\overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = \left( {1; - 1;2} \right)\)  suy ra \(\left[ {\overrightarrow {{M_1}{M_2}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( { - 6; - 6;0} \right)\)

Vậy khoảng cách cần tìm là:

\(d = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{M_1}{M_2}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|}}\)\( = \frac{{\sqrt {36 + 36 + 0} }}{{\sqrt {6 + 9} }} = 2\)

LG b

\(d:\,{x \over { - 1}} = {{y - 4} \over 1} = {{z + 1} \over { - 2}}\) và

\(d':\left\{ \matrix{
x ={ - t'} \hfill \cr 
y = {2 + 3t'} \hfill \cr 
z = {- 4 + 3t'} \hfill \cr} \right.\)

Phương pháp giải:

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: \(d = {{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right].\overrightarrow {MM'} } \right|} \over {\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right]} \right|}}\)

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng d đi qua \(M\left( {0;4; - 1} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( { - 1;1; - 2} \right)\).
Đường thẳng d’ đi qua \(M'\left( {0;2; - 4} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {u'}  = \left( { - 1;3;3} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {MM'}  = \left( {0; - 2; - 3} \right);\) \(\left[ {\overrightarrow u ;\overrightarrow {u'} } \right] = \left( {9;5; - 2} \right)\).
\( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right].\overrightarrow {MM'}  =  - 4 \ne 0 \)

\(\Rightarrow d\) và d’ chéo nhau.
Khoảng cách giữa \({d_1}\) và \({d_2}\) là:

\(d = {{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right].\overrightarrow {MM'} } \right|} \over {\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right]} \right|}} = {4 \over {\sqrt {{9^2} + {5^2} + {2^2}} }} = {{2\sqrt {110} } \over {55}}\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4 trên 5 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2023 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Đăng ký để nhận lời giải hay và tài liệu miễn phí

Cho phép loigiaihay.com gửi các thông báo đến bạn để nhận được các lời giải hay cũng như tài liệu miễn phí.

Đồng ý Bỏ qua