Bài 35 SGK trang 104 Hình học 12 Nâng cao


Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng sau:

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng sau:

LG a

\(d:\left\{ \matrix{
x = 1 + t \hfill \cr 
y = - 1 - t \hfill \cr 
z = 1 \hfill \cr} \right.\) và

\(d':\left\{ \matrix{
x = {2 - 3t'} \hfill \cr 
y ={ - 2 + 3t'} \hfill \cr 
z = 3 \hfill \cr} \right.\)

Phương pháp giải:

- Chứng minh d//d'

- Tính d(d,d')=d(M,d').

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng d đi qua \({M_1}\left( {1; - 1;1} \right)\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {1; - 1;0} \right)\).
Đường thẳng d’ đi qua điểm \({M_2}\left( {2; - 2;3} \right)\), có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} \left( { - 1;1;0} \right)\). Vì \(\overrightarrow {{u_1}} \) và \(\overrightarrow {{u_2}} \) cùng phương nhưng \(\overrightarrow {{u_1}} \); \(\overrightarrow {{u_2}} \) không cùng phương với \(\overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = \left( {1; - 1;2} \right)\) nên hai đường thẳng đó song song.

Vậy khoảng cách giữa d và d’ là khoảng cách từ \(M_1\)(1, -1, 1) ∈ d đến đường thẳng d’ và bằng : \(d = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{M_1}{M_2}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|}}\)

Ta có: \(\overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = \left( {1; - 1;2} \right)\)  suy ra \(\left[ {\overrightarrow {{M_1}{M_2}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( { - 6; - 6;0} \right)\)

Vậy khoảng cách cần tìm là:

\(d = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{M_1}{M_2}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|}}\)\( = \frac{{\sqrt {36 + 36 + 0} }}{{\sqrt {6 + 9} }} = 2\)

LG b

\(d:\,{x \over { - 1}} = {{y - 4} \over 1} = {{z + 1} \over { - 2}}\) và

\(d':\left\{ \matrix{
x ={ - t'} \hfill \cr 
y = {2 + 3t'} \hfill \cr 
z = {- 4 + 3t'} \hfill \cr} \right.\)

Phương pháp giải:

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: \(d = {{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right].\overrightarrow {MM'} } \right|} \over {\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right]} \right|}}\)

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng d đi qua \(M\left( {0;4; - 1} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( { - 1;1; - 2} \right)\).
Đường thẳng d’ đi qua \(M'\left( {0;2; - 4} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {u'}  = \left( { - 1;3;3} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {MM'}  = \left( {0; - 2; - 3} \right);\) \(\left[ {\overrightarrow u ;\overrightarrow {u'} } \right] = \left( {9;5; - 2} \right)\).
\( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right].\overrightarrow {MM'}  =  - 4 \ne 0 \)

\(\Rightarrow d\) và d’ chéo nhau.
Khoảng cách giữa \({d_1}\) và \({d_2}\) là:

\(d = {{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right].\overrightarrow {MM'} } \right|} \over {\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right]} \right|}} = {4 \over {\sqrt {{9^2} + {5^2} + {2^2}} }} = {{2\sqrt {110} } \over {55}}\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.8 trên 4 phiếu

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài