Bài 31 trang 103 SGK Hình học 12 Nâng cao


Cho hai đường thẳng và . a) Chứng tỏ rằng hai đường thẳng đó chéo nhau. b) Viết phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O và song song với và . c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và . d) Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng đó.

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho hai đường thẳng

\({d_1}:\left\{ \matrix{
x = 8 + t \hfill \cr 
y = 5 + 2t \hfill \cr 
z = 8 - t \hfill \cr} \right.\) và \({d_2}:{{3 - x} \over 7} = {{y - 1} \over 2} = {{z - 1} \over 3}\).

LG a

Chứng tỏ rằng hai đường thẳng đó chéo nhau.

Phương pháp giải:

Kiểm tra tích \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{M_2}{M_1}}   \ne 0\)

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng \({d_1}\) đi qua \({M_1}\left( {8;5;8} \right)\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} \left( {1;2; - 1} \right)\).
Đường thẳng \({d_2}\) đi qua \({M_2}\left( {3;1;1} \right)\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} \left( { - 7;2;3} \right)\).
Ta có: \(\overrightarrow {{M_2}{M_1}}  = \left( {5;4;7} \right)\,\,;\,\,\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {8;4;16} \right)\).
Do đó \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{M_2}{M_1}}  = 168 \ne 0\).
Vậy hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) chéo nhau.

LG b

Viết phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O và song song với \({d_1}\) và \({d_2}\).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(\left( \alpha  \right)\) là mặt phẳng qua O song song với cả \({d_1}\) và \({d_2}\).

\(Mp\left( \alpha  \right)\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = {1 \over 4}\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {2;1;4} \right)\).
Vậy \(\left( \alpha  \right):2\left( {x - 0} \right) + 1\left( {y - 0} \right) + 4\left( {z - 0} \right) = 0 \) \(\Leftrightarrow 2x + y + 4z = 0\).
Rõ ràng \({M_1},{M_2} \notin \left( \alpha  \right)\).

Vậy \(\left( \alpha  \right)\) chính là mặt phẳng cần tìm.

LG c

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\).

Phương pháp giải:

Công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau \(d = {{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{M_2}{M_1}} } \right|} \over {\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right|}}\)

Lời giải chi tiết:

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau \({d_1}\) và \({d_2}\) là:

\(d = {{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{M_2}{M_1}} } \right|} \over {\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right|}} \) \(= {{168} \over {\sqrt {{8^2} + {4^2} + {{16}^2}} }} = 2\sqrt {21} \)

LG d

Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng đó.

Lời giải chi tiết:

Giả sử PQ là đường vuông góc chung của \({d_1}\) và \({d_2}\) với \(P \in {d_1}\,;\,Q \in {d_2}\). Khi đó ta có các giá trị t và t’ sao cho: \(P\left( {8 + t\,;5 + 2t\,;\,8 - t} \right),\,Q\left( {3 - 7t'\,;\,1 + 2t'\,;\,1 + 3t'} \right)\).
Ta có: \(\overrightarrow {PQ}  = \left( { - 5 - 7t' - t; - 4 + 2t' - 2t; - 7 + 3t' + t} \right)\).
Vectơ \(\overrightarrow {PQ} \) đồng thời vuông góc với hai vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} \) và \(\overrightarrow {{u_2}} \) nên

\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
\overrightarrow {PQ} .\overrightarrow {{u_1}} = 0 \hfill \cr 
\overrightarrow {PQ} .\overrightarrow {{u_2}} = 0 \hfill \cr} \right. \cr &\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
- 5 - 7t' - t + 2\left( { - 4 + 2t' - 2t} \right) - \left( { - 7 + 3t' + t} \right) = 0 \hfill \cr 
- 7\left( { - 5 - 7t' - t} \right) + 2\left( { - 4 + 2t' - 2t} \right) + 3\left( { - 7 + 3t' + t} \right) = 0 \hfill \cr} \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
- 6t' - 6t = 6 \hfill \cr 
62t' + 6t = - 6 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
t' = 0 \hfill \cr 
t = - 1 \hfill \cr} \right. \cr} \)

Vậy \(P\left( {7;3;9} \right)\,,\,Q\left( {3;1;1} \right)\) và do đó, đường vuông góc chung của \({d_1}\) và \({d_2}\) có phương trình:

\({{x - 3} \over {7 - 3}} = {{y - 1} \over {3 - 1}} = {{z - 1} \over {9 - 1}} \) \(\Leftrightarrow {{x - 3} \over 2} = {{y - 1} \over 1} = {{z - 1} \over 4}\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.7 trên 11 phiếu

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài