Bài 30 trang 103 SGK Hình học 12 Nâng cao


Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng và cắt cả hai đường thẳng và , biết phương trình của và là:

Đề bài

Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng \({d_1}\) và cắt cả hai đường thẳng \({d_2}\) và \({d_3}\), biết phương trình của \({d_1},{d_2}\) và \({d_3}\) là:

\({d_1}:\left\{ \matrix{
x = 1 \hfill \cr 
y = {- 2 + 4t} \hfill \cr 
z ={ 1 - t} \hfill \cr} \right.\)
\( {d_2}:{{x - 1} \over 1} = {{y + 2} \over 4} = {{z - 2} \over 3}\)
\( {d_3}:\left\{ \matrix{
x ={ - 4 + 5t'} \hfill \cr 
y = {- 7 + 9t'} \hfill \cr 
z = {t'} \hfill \cr} \right.\)

Lời giải chi tiết

Đường thẳng \({d_1}\) có vectơ chỉ phương \({\overrightarrow u _1} = \left( {0;4; - 1} \right)\), \({d_2}\) có phương trình tham số là

\(\left\{ \matrix{
x = 1 + t \hfill \cr 
y = - 2 + 4t \hfill \cr 
z = 2 + 3t \hfill \cr} \right.\)

Lấy điểm \({M_2}\left( {1 + t; - 2 + 4t;2 + 3t} \right)\) trên \({d_2}\) và \({M_3}\left( { - 4 + 5t'; - 7 + 9t';t'} \right)\) trên \({d_3}\). Ta tìm t và t’ để \(\overrightarrow {{M_2}{M_3}} \) cùng phương với \(\overrightarrow {{u_1}} \).
Ta có \(\overrightarrow {{M_2}{M_3}}  = \left( { - 5 + 5t' - t; - 5 + 9t' - 4t; - 2 + t' - 3t} \right)\), \(\overrightarrow {{M_2}{M_3}} \) cùng phương với \(\overrightarrow {{u_1}} \) khi và chỉ khi

\(\left\{ \matrix{
- 5 + 5t' - t = 0 \hfill \cr 
{{ - 5 + 9t' - 4t} \over 4} = {{ - 2 + t' - 3t} \over { - 1}} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
t = 0 \hfill \cr 
t' = 1 \hfill \cr} \right.\)

Khi đó \({M_2}\left( {1; - 2;2} \right)\) và \(\overrightarrow {{M_2}{M_3}}  = \left( {0;4; - 1} \right)\).
Vậy \(\Delta \) qua \({M_2},{M_3}\) có phương trình:

\(\left\{ \matrix{
x = 1 \hfill \cr 
y = - 2 + 4t \hfill \cr 
z = 2 - t \hfill \cr} \right.\).

Rõ ràng \({M_2} \notin {d_1}\).

Vậy \(\Delta \) chính là đường thẳng cần tìm.

Cách khác:

Gọi Δ là đường cần tìm, thì Δ=(P)∩(Q);

Trong đó (P) là mặt phẳng chứa d2 và (P) // d1

(Q) là mặt phẳng chứa d3 và (Q) // d1

d1,d2,d3 lần lượt có các vectơ chỉ phương là: \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {0;4; - 1} \right),\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {1;4;3} \right),\) \(\overrightarrow {{u_3}}  = \left( {5;9;1} \right)\)

Ta viết được phương trình mp(P) là: 16x-y-4z-10=0

Phương trình mp(Q) là: 13x-5y-20z+17=0

Vậy phương trình của Δ là: \(\left\{ \begin{array}{l}16x - y - 4z - 10 = 0\\13x - 5y - 20z + 17 = 0\end{array} \right.\)

hay Δ có phương trình tham số là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y =  - 2 + 4t\\z = 2 - t\end{array} \right.\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4 trên 4 phiếu

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài