Bài 32 trang 104 SGK Hình học 12 Nâng cao


Cho đường thẳng d và mặt phẳng có phương trình: . a) Tìm góc giữa d và . b) Tìm tọa độ giao điểm của d và . c) Viết phương trình hình chiếu vuông góc của d trên .

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho đường thẳng d và mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) có phương trình:

\(d:{{x - 2} \over 2} = {{y + 1} \over 3} = {{z - 1} \over 5}\) \(\left( \alpha  \right):2x + y + z - 8 = 0\).

LG a

Tìm góc giữa d và \(\left( \alpha  \right)\).

Phương pháp giải:

Công thức tính góc giữa đường thẳng và mp: \(\sin \varphi  = {{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|} \over {\left| {\overrightarrow u } \right|\left| {\overrightarrow n } \right|}} \)

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {2;3;5} \right)\), \(mp\left( \alpha  \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {2;1;1} \right)\).

Gọi \(\varphi \) là góc giữa d và \(\left( \alpha  \right)\) thì \(0 \le \varphi  \le {90^0}\) và

\(\sin \varphi  = {{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|} \over {\left| {\overrightarrow u } \right|\left| {\overrightarrow n } \right|}} \) \(= {{\left| {2.2 + 3.1 + 5.1} \right|} \over {\sqrt {4 + 9 + 25} .\sqrt {4 + 1 + 1} }} = {6 \over {\sqrt {57} }}\).

LG b

Tìm tọa độ giao điểm của d và \(\left( \alpha  \right)\).

Phương pháp giải:

Viết d dưới dạng tham số rồi xét hệ phương trình tọa độ giao điểm.

Lời giải chi tiết:

d có phương trình tham số

\(\left\{ \matrix{
x = 2 + 2t \hfill \cr 
y = - 1 + 3t \hfill \cr 
z = 1 + 5t \hfill \cr} \right.\).

Thay x, y, z vào phương trình \(\left( \alpha  \right)\) ta có:

\(2\left( {2 + 2t} \right) + \left( { - 1 + 3t} \right) + \left( {1 + 5t} \right) = 0 \) \(\Leftrightarrow t = {1 \over 3}\)

Ta được giao điểm \(M\left( {{8 \over 3};0;{8 \over 3}} \right)\).

LG c

Viết phương trình hình chiếu vuông góc của d trên \(\left( \alpha  \right)\).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(\left( \beta  \right)\) là mặt phẳng đi qua d và vuông góc với \(\left( \alpha  \right)\) thì hình chiếu d’ của d trên \(\left( \alpha  \right)\) là giao tuyến của \(\left( \alpha  \right)\) và \(\left( \beta  \right)\).

Vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_{(\beta )}}} \) của \(\left( \beta  \right)\) vuông góc với cả \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow n \) nên ta chọn \(\overrightarrow {{n_\beta }}  = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right] = \left( { - 2;8; - 4} \right)\).

Ngoài ra, \(\left( \beta  \right)\) đi qua d nên cũng đi qua điểm \(A\left( {2; - 1;1} \right)\).

Do đó \(\left( \beta  \right)\) có phương trình:
\( - 2\left( {x - 2} \right) + 8\left( {y + 1} \right) - 4\left( {z - 1} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow  - x + 4y - 2z + 8 = 0\).
Hình chiếu d’ qua I và có vectơ chỉ phương:

\(\overrightarrow a = \left[ {\overrightarrow {{n_\alpha }} ;\overrightarrow {{n_\beta }} } \right] \) \(= \left( {\left| \matrix{
1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,1 \hfill \cr 
4\,\,\,\,\,\, - 2 \hfill \cr} \right|;\,\left| \matrix{
1\,\,\,\,\,\,\,\,2 \hfill \cr 
- 2\,\,\,\,\, - 1\, \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
2\,\,\,\,\,\,\,\,1 \hfill \cr 
- 1\,\,\,\,\,4 \hfill \cr} \right|} \right) \) \(= \left( { - 6;3;9} \right) = 3\left( { - 2;1;3} \right)\)

Vậy d’ có phương trình tham số là 

\(\left\{ \matrix{
x = {8 \over 3} - 2t \hfill \cr 
y = t \hfill \cr 
z = {8 \over 3} + 3t \hfill \cr} \right.\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.2 trên 6 phiếu

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài