Bài 32 trang 104 SGK Hình học 12 Nâng cao

Cho đường thẳng d và mặt phẳng có phương trình: . a) Tìm góc giữa d và . b) Tìm tọa độ giao điểm của d và . c) Viết phương trình hình chiếu vuông góc của d trên .

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho đường thẳng d và mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) có phương trình:

\(d:{{x - 2} \over 2} = {{y + 1} \over 3} = {{z - 1} \over 5}\) \(\left( \alpha \right):2x + y + z - 8 = 0\).

LG a

Tìm góc giữa d và \(\left( \alpha \right)\).

Phương pháp giải:

Công thức tính góc giữa đường thẳng và mp: \(\sin \varphi = {{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|} \over {\left| {\overrightarrow u } \right|\left| {\overrightarrow n } \right|}} \)

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {2;3;5} \right)\), \(mp\left( \alpha \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {2;1;1} \right)\).

Gọi \(\varphi \) là góc giữa d và \(\left( \alpha \right)\) thì \(0 \le \varphi \le {90^0}\) và

\(\sin \varphi = {{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|} \over {\left| {\overrightarrow u } \right|\left| {\overrightarrow n } \right|}} \) \(= {{\left| {2.2 + 3.1 + 5.1} \right|} \over {\sqrt {4 + 9 + 25} .\sqrt {4 + 1 + 1} }} = {6 \over {\sqrt {57} }}\).

LG b

Tìm tọa độ giao điểm của d và \(\left( \alpha \right)\).

Phương pháp giải:

Viết d dưới dạng tham số rồi xét hệ phương trình tọa độ giao điểm.

Lời giải chi tiết:

d có phương trình tham số

\(\left\{ \matrix{
x = 2 + 2t \hfill \cr
y = - 1 + 3t \hfill \cr
z = 1 + 5t \hfill \cr} \right.\).

Thay x, y, z vào phương trình \(\left( \alpha \right)\) ta có:

\(2\left( {2 + 2t} \right) + \left( { - 1 + 3t} \right) + \left( {1 + 5t} \right) = 0 \) \(\Leftrightarrow t = {1 \over 3}\)

Ta được giao điểm \(M\left( {{8 \over 3};0;{8 \over 3}} \right)\).

LG c

Viết phương trình hình chiếu vuông góc của d trên \(\left( \alpha \right)\).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(\left( \beta \right)\) là mặt phẳng đi qua d và vuông góc với \(\left( \alpha \right)\) thì hình chiếu d’ của d trên \(\left( \alpha \right)\) là giao tuyến của \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\).

Vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_{(\beta )}}} \) của \(\left( \beta \right)\) vuông góc với cả \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow n \) nên ta chọn \(\overrightarrow {{n_\beta }} = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right] = \left( { - 2;8; - 4} \right)\).

Ngoài ra, \(\left( \beta \right)\) đi qua d nên cũng đi qua điểm \(A\left( {2; - 1;1} \right)\).

Do đó \(\left( \beta \right)\) có phương trình:
\( - 2\left( {x - 2} \right) + 8\left( {y + 1} \right) - 4\left( {z - 1} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow - x + 4y - 2z + 8 = 0\).
Hình chiếu d’ qua I và có vectơ chỉ phương:

\(\overrightarrow a = \left[ {\overrightarrow {{n_\alpha }} ;\overrightarrow {{n_\beta }} } \right] \) \(= \left( {\left| \matrix{
1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,1 \hfill \cr
4\,\,\,\,\,\, - 2 \hfill \cr} \right|;\,\left| \matrix{
1\,\,\,\,\,\,\,\,2 \hfill \cr
- 2\,\,\,\,\, - 1\, \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
2\,\,\,\,\,\,\,\,1 \hfill \cr
- 1\,\,\,\,\,4 \hfill \cr} \right|} \right) \) \(= \left( { - 6;3;9} \right) = 3\left( { - 2;1;3} \right)\)

Vậy d’ có phương trình tham số là

\(\left\{ \matrix{
x = {8 \over 3} - 2t \hfill \cr
y = t \hfill \cr
z = {8 \over 3} + 3t \hfill \cr} \right.\)

Loigiaihay.com

👉

Giải bài nhanh với AI Hay:

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

3.4 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Bài 33 trang 104 SGK Hình học 12 Nâng cao
Cho đường thẳng và mp(P) có phương trình: a) Xác định tọa độ giao điểm A của và (P). b) Viết phương trình đường thẳng đi qua A, nằm trong (P) và vuông góc với .
Bài 34 trang 104 SGK Hình học 12 Nâng cao
a) Tính khoảng cách từ điểm M(2; 3; 1) đến đường thẳng có phương trình . b) Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương
Bài 35 SGK trang 104 Hình học 12 Nâng cao
Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng sau:
Bài 31 trang 103 SGK Hình học 12 Nâng cao
Cho hai đường thẳng và . a) Chứng tỏ rằng hai đường thẳng đó chéo nhau. b) Viết phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O và song song với và . c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và . d) Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng đó.
Bài 30 trang 103 SGK Hình học 12 Nâng cao
Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng và cắt cả hai đường thẳng và , biết phương trình của và là:
Bài 29 trang 103 SGK Hình học 12 Nâng cao
Viết phương trình đường thẳng đi qua A và cắt cả hai đường thẳng sau:
Bài 28 trang 103 SGK Hình học 12 Nâng cao
Xác định vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng d và d’ cho bởi phương trình:
Bài 27 trang 103 SGK Hình học 12 Nâng cao
Cho đường thẳng và mặt phẳng . a) Tìm một vectơ chỉ phương của d và một điểm nằm trên d. b) Viết phương trình mặt phẳng đi qua d và vuông góc với mp(P). c) Viết phương trình hình chiếu vuông góc của d trên mp(P).
Bài 26 trang 102 SGK Hình học 12 Nâng cao
Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng trên mỗi mặt phẳng tọa độ.
Bài 25 trang 102 SGK Hình học 12 Nâng cao
Viết phương trình tham số, chính tắc (nếu có) của các đường thẳng sau đây:
Bài 24 trang 102 SGK Hình học 12 Nâng cao
Viết phương trình tham số và chính tắc (nếu có) của các đường thẳng sau đây: