Giải bài tập Toán 12 Nâng cao, Toán 12 Nâng cao, đầy đủ giải tích và hình học Bài 3. Phương trình đường thẳng

Bài 29 trang 103 SGK Hình học 12 Nâng cao


Đề bài

Viết phương trình đường thẳng đi qua \(A\left( {1; - 1;1} \right)\) và cắt cả hai đường thẳng sau:

\(d:\left\{ \matrix{
x = 1 + 2t \hfill \cr 
y = t \hfill \cr 
z = 3 - t \hfill \cr} \right.\) \(d':\left\{ \matrix{
x = t \hfill \cr 
y = - 1 - 2t \hfill \cr 
z = 2 + t \hfill \cr} \right.\)

Lời giải chi tiết

Lấy điểm \(M\left( {1 + 2t,t,3 - 1} \right)\) nằm trên d và điểm \(M'\left( {t', - 1 - 2t',2 + t'} \right)\) nằm trên d’.
Rõ ràng \(A \notin d\) và \(A \notin d'\). Ta tìm t và t’ sao cho A, M, M’ thẳng hàng, tức \(\overrightarrow {AM} \) và \(\overrightarrow {AM'} \) cùng phương.
Ta có \(\overrightarrow {AM}  = \left( {2t,1 + t,2 - t} \right);\) \(\overrightarrow {AM'}  = \left( { - 1 + t', - 2t',1 + t'} \right)\).

Do đó:

$$\eqalign{
& \left[ {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {AM'} } \right] \cr&= \left( {\left| \matrix{
{1 + t}\,\,\,\,\,{2 - t} \hfill \cr 
- 2t'\,\,\,\,\,\,{1 + t'} \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
{2 - t}\,\,\,\,\,\,\,\,\,2t \hfill \cr 
{1 + t'}\,\, \,\,{- 1 + t' }\hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
2t\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{1 + t} \hfill \cr 
{- 1 + t'}\,\,\,\,{ - 2t'} \hfill \cr} \right|} \right) \cr 
& = \left( {1 + t + 5t' - tt'; - 2 - t + 2t' - 3tt';1 + t - t' - 5tt'} \right) \cr} $$

Hai vectơ \(\overrightarrow {AM} \) và \(\overrightarrow {AM'} \) cùng phương khi và chỉ khi \(\left[ {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {AM'} } \right] = \overrightarrow 0 \) hay: 

\(\left\{ \matrix{
1 + t + 5t' - tt' = 0 \hfill \cr 
- 2 - t + 2t' - 3tt' = 0 \hfill \cr 
1 + t - t' - 5tt' = 0 \hfill \cr} \right.\)

Khử số hạng tt’ từ các phương trình trên, ta được hệ

\(\left\{ \matrix{
5 + 4t + 13t' = 0 \hfill \cr 
4 + 4t + 26t' = 0 \hfill \cr} \right.\).

Suy ra \(t =  - {3 \over 2};t' = {1 \over {13}}\). Khi đó \(\overrightarrow {AM}  = \left( { - 3; - {1 \over 2};{7 \over 2}} \right)\).
Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua A và M, \(\Delta \) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = 2\overrightarrow {AM}  = \left( { - 6; - 1;7} \right)\) nên có phương trình tham số là: 

\(\left\{ \matrix{
x = 1 - 6t \hfill \cr 
y = - 1 - t \hfill \cr 
z = 1 + 7t \hfill \cr} \right.\)

Cách khác:

Gọi Δ là đường thẳng cần tìm, ta có Δ =(P)∩(Q), trong đó (P) chứa A và d và (Q) chứa A và d’.

Đường thẳng d đi qua Mo (1,0,3) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {2;1; - 1} \right)\) nên mp(P) đi qua A(1, -1, 1) và nhận \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {{M_0}A} } \right] = \left( { - 3;4; - 2} \right)\) là vectơ pháp tuyến.

Suy ra mp(P) có phương trình: -3x+4y-2z+9=0

Tương tự mp(Q) có phương trình: x+y+z-1=0

Vậy phương trình của Δ là \(\left\{ \begin{array}{l}3x + 4y - 2z + 9 = 0\\x + y + z - 1 = 0\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 6t\\y =  - 1 - t\\z = 1 + 7t\end{array} \right.,t \in \mathbb{R}\).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.1 trên 8 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2022 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Đăng ký để nhận lời giải hay và tài liệu miễn phí

Cho phép loigiaihay.com gửi các thông báo đến bạn để nhận được các lời giải hay cũng như tài liệu miễn phí.

Đồng ý Bỏ qua