Bài 27 trang 103 SGK Hình học 12 Nâng cao


Cho đường thẳng và mặt phẳng . a) Tìm một vectơ chỉ phương của d và một điểm nằm trên d. b) Viết phương trình mặt phẳng đi qua d và vuông góc với mp(P). c) Viết phương trình hình chiếu vuông góc của d trên mp(P).

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho đường thẳng 

\(d:\left\{ \matrix{
x = t \hfill \cr 
y = 8 + 4t \hfill \cr 
z = 3 + 2t \hfill \cr} \right.\)

và mặt phẳng \(\left( P \right):x + y + z - 7 = 0\).

LG a

Tìm một vectơ chỉ phương của d và một điểm nằm trên d.

Lời giải chi tiết:

Một vectơ chỉ phương của d là \(\overrightarrow u  = \left( {1;4;2} \right)\). Cho t = 0 ta có một điểm \({M_0}\left( {0;8;3} \right)\) nằm trên d.

LG b

Viết phương trình mặt phẳng đi qua d và vuông góc với mp(P).

Lời giải chi tiết:

Vectơ pháp tuyến của mp(P) là \({\overrightarrow n _P} = \left( {1;1;1} \right)\).

Gọi \(\left( \alpha  \right)\)là mặt phẳng đi qua d và vuông góc với cả \(\overrightarrow u \) và \({\overrightarrow n _P}\) nên ta lấy \({\overrightarrow n _{\left( \alpha  \right)}} = \left[ {\overrightarrow u ;{{\overrightarrow n }_P}} \right] = \left( {2;1; - 3} \right)\).

\(Mp\left( \alpha  \right)\) đi qua \({M_0}\left( {0;8;3} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \({\overrightarrow n _\alpha } = \left( {2;1; - 3} \right)\) nên có phương trình là: \(2\left( {x - 0} \right) + 1\left( {y - 8} \right) - 3\left( {z - 3} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow 2x + y - 3z + 1 = 0\)

LG c

Viết phương trình hình chiếu vuông góc của d trên mp(P).

Lời giải chi tiết:

Vì d không vuông góc với (P) nên hình chiếu của d trên (P) là đường thẳng d’, d’ là giao tuyến của \(\left( \alpha  \right)\) và (P): 

\(\left\{ \matrix{
x + y + z - 7 = 0 \hfill \cr 
2x + y - 3z + 1 = 0 \hfill \cr} \right.\)

Cho z = 0 ta có x = – 8; y = 15, d’ qua A(– 8; 15; 0).

Ta có: 

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left( {1;1;1} \right)\\
\overrightarrow {{n_{\left( \alpha \right)}}} = \left( {2;1; - 3} \right)\\
\Rightarrow \left[ {\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} ,\overrightarrow {{n_{\left( \alpha \right)}}} } \right] = \left( { - 4;5; - 1} \right)
\end{array}\)

d’ đi qua A(– 8; 15; 0) và nhận \(\overrightarrow u  = \left[ {\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} ,\overrightarrow {{n_{\left( \alpha  \right)}}} } \right] = \left( { - 4;5; - 1} \right)\) làm VTCP nên có phương trình tham số là: 

\(\left\{ \matrix{
x = - 8 - 4t \hfill \cr 
y = 15 + 5t \hfill \cr 
z = - t \hfill \cr} \right.\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.7 trên 6 phiếu

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài