Câu 4.70 trang 114 SBT Đại số 10 Nâng cao

Giải bài tập Câu 4.70 trang 114 SBT Đại số 10 Nâng cao

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho phương trình :

\(\left( {m - 2} \right){x^4} - 2\left( {m + 1} \right){x^2} + 2m - 1 = 0.\)

Tìm các giá trị của tham số m để phương trình trên có :

LG a

Một nghiệm ;

Lời giải chi tiết:

+ Với \(m = 2\), phương trình đã cho trở thành :

\( - 6{{ {x}}^2} + 3 = 0 \Leftrightarrow {{ {x}}^2} = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow { {x}} = \pm \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}.\)

Phương trình có hai nghiệm, nên không thảo mãn yêu cầu đầu bài.

+ Với m ≠ 2, đặt \(t = {x^2} \ge 0,\) ta được phương trình

\(f\left( t \right) = \left( {m - 2} \right){t^2} - 2\left( {m + 1} \right)t + 2m - 1 = 0. \,\,(*)\)

Để phương trình đã cho có đúng một nghiệm thì phương trình (*) hoặc có nghiệm kép \(t = 0\) hoặc có một nghiệm âm, còn nghiệm thứ hai bằng 0.

Xét \(t = 0\). Khi đó \(f\left( 0 \right) = 2m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = \dfrac{1}{2}.\) Thay \(m = \dfrac{1}{2}\) vào (*) ta được :

\(f\left( t \right) = t\left( { - \dfrac{3}{2}t - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 0}\\{t = - 2.}\end{array}} \right.\)

Vậy \(m = \dfrac{1}{2}\) là giá trị cần tìm (để phương trình đã cho có một nghiệm).

LG b

Hai nghiệm phân biệt

Lời giải chi tiết:

\(m = \dfrac{{7 + 3\sqrt 5 }}{2},m \in \left( {\dfrac{1}{2};2} \right].\) Hướng dẫn. Rõ ràng với \(m = 2\) phương trình có hai nghiệm \(x = \pm \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\) .

Với \(m ≠ 2.\)

Để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm thì phương trình (*) hoặc có nghiệm kép dương hoặc có một nghiệm âm và một nghiệm dương.

- Phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi \(ac < 0\) tức là \(\left( {m - 2} \right)\left( {2m - 1} \right) < 0\) hay \(\dfrac{1}{2} < m < 2\)

- Phương trình (*) có nghiệm kép dương khi và chỉ khi \(∆’ = 0\) và \( - \dfrac{b}{{2{ {a}}}} > 0.\)

\(\begin{array}{l}\Delta ' = - {m^2} + 7m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = \dfrac{{7 \pm 3\sqrt 5 }}{2};\\ - \dfrac{b}{{2{ {a}}}} = \dfrac{{m + 1}}{{m - 2}} > 0 \Leftrightarrow m < - 1\,hoac\,m > 2.\end{array}\)

Chỉ có \(m = \dfrac{{7 + 3\sqrt 5 }}{2}\) thỏa mãn hai điều kiện trên.

LG c

Bốn nghiệm phân biệt.

Lời giải chi tiết:

\(2 < m < \dfrac{{7 + 3\sqrt 5 }}{2}.\)

Hướng dẫn. Tìm \(m\) để phương trình \(f(t) = 0\) có hai nghiệm dương phân biệt. Điều kiện cần và đủ là \(∆’ > 0, S > 0\) và \(P > 0.\)

Loigiaihay.com