Bài 81 trang 116 SBT Hình học 10 Nâng cao


Giải bài tập Bài 81 trang 116 SBT Hình học 10 Nâng cao

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho hypebol \((H): { \dfrac{x}{4}^2} -  \dfrac{{{y^2}}}{5} = 1\) và đường thẳng \(\Delta : x - y + 4 = 0\).

 

LG a

Chứng minh rằng \(\Delta \) luôn cắt \((H)\) tại hai điểm \(M, N\) thuộc hai nhánh khác nhau của \((H) (x_M < x_N);\)

 

Lời giải chi tiết:

\((H):  \dfrac{{{x^2}}}{4} -  \dfrac{{{y^2}}}{5}\)

\(= 1    \Leftrightarrow   5{x^2} - 4{y^2} - 20 = 0\).

\({a^2} = 4   \Rightarrow   a = 2 , \) \( {b^2} = 5   \Rightarrow   b = \sqrt {5  } ,\) \(  {c^2} = {b^2} + {a^2} = 9   \Rightarrow   c = 3\).

\((H)\) có hai nhánh : nhánh trái ứng với \(x \le  - 2\), nhánh phải ứng với \(x \ge 2\). Hoành độ giao điểm của \((H)\) và \(\Delta \) là nghiệm của phương trình :

\(5{x^2} - 4{(x + m)^2} - 20 = 0\) hay  \({x^2} - 8mx - 4({m^2} + 5) = 0\).        (1)

Phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt trái dấu với mọi \(m\). Do đó \(\Delta \) luôn cắt \((H)\) tại hai điểm \(M\) và \(N\) thuộc hai nhánh khác nhau.

Theo giả thiết \(x_M < x_N\) nên \(M\) thuộc nhánh trái, \(N\) thuộc nhánh phải.

 

LG b

Gọi \(F_1\) là tiêu điểm trái và \(F_2\) là tiêu điểm phải cả \((H)\). Xác định \(m\) để \(F_2N=2F_1M.\)

 

Lời giải chi tiết:

\((H)\) có các tiêu điểm \({F_1}( - 3 ; 0) ,  {F_2}(3 ; 0)\).

\(\begin{array}{l}{F_2}N = \left| {a -  \dfrac{c}{a}{x_N}} \right| = \left| {2 -  \dfrac{3}{2}{x_N}} \right| \\=  \dfrac{3}{2}{x_N} - 2   ({x_N} \ge 2)\\{F_1}M = \left| {a +  \dfrac{c}{a}{x_M}} \right| = \left| {2 +  \dfrac{3}{2}{x_M}} \right|\\ =  -  \dfrac{3}{2}{x_M} - 2   ({x_M} \le  - 2)\\{F_2}N = 2{F_1}M \\   \Leftrightarrow   \dfrac{3}{2}{x_N} - 2 = 2\left( { -  \dfrac{3}{2}{x_M} - 2} \right)  \\  \Leftrightarrow   3{x_N} + 6{x_M} + 4 = 0   (2)\end{array}\)

\({x_M}, {x_N}\) là nghiệm của (1) nên \(\left\{ \begin{array}{l}{x_M} + {x_N} = 8m \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3)                  \\{x_M}.{x_N} =  - 4({m^2} + 5)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(4)\end{array} \right.\)

Giải (2) và (3) ta được: \({x_M} =  -  \dfrac{4}{3} - 8m ,\) \(  {x_N} =  \dfrac{4}{3} + 16m\). Thay \({x_M}, {x_N}\) vào (4) ta có

\(\begin{array}{l}\left( { -  \dfrac{4}{3} - 8m} \right)\left( { \dfrac{4}{3} + 16m} \right)\\ =  - 4({m^2} + 5)  \\  \Leftrightarrow   279{m^2} + 72m - 41 = 0\\ \Leftrightarrow  m =  \dfrac{{ - 12 \pm \sqrt {1415} }}{{93}} .\end{array}\)

Vậy với \(m =  \dfrac{{ - 12 \pm \sqrt {1415} }}{{93}}\) thì \({F_2}N = 2{F_1}M\).

Loigiaihay.com

 

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Các bài liên quan: - Bài 6. Đường hypebol.

>> Học trực tuyến Lớp 11 năm học mới trên Tuyensinh247.com, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu


Gửi bài