Bài 75 trang 115 SBT Hình học 10 Nâng cao

Giải bài tập Bài 75 trang 115 SBT Hình học 10 Nâng cao

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Lập phương trình chính tắc của hypebol \((H)\) biết

LG a

Phương trình các cạnh của hình chữ nhật cơ sở là \(x = \pm \dfrac{1}{2} , y = \pm 1\);

Phương pháp giải:

\((H)\) có phương trình chính tắc: \( \dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\).

Lời giải chi tiết:

\(a = \dfrac{1}{2} , b = 1 \Rightarrow \) phương trình của \((H)\) : \( \dfrac{{{x^2}}}{{ \dfrac{1}{4}}} - \dfrac{{{y^2}}}{1} = 1\).

LG b

Một đỉnh là \((3 ; 0)\) và phương trình đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật cơ sở là \({x^2} + {y^2} = 16\);

Phương pháp giải:

\((H)\) có phương trình chính tắc: \( \dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\).

Lời giải chi tiết:

\((3; 0)\) là một đỉnh của \((H) \Rightarrow a = 3\). Các giao điểm của đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật cơ sở với trục \(Ox\) là các tiêu điểm của \((H)\). Vậy \(c = 4 , {b^2} = {c^2} - {a^2} = 7\).

Phương trình của \((H): \dfrac{{{x^2}}}{9} - \dfrac{{{y^2}}}{7} = 1\).

LG c

Một tiêu điểm là \((-10 ; 0)\) và phương trình các đường tiệm cận là \(y = \pm \dfrac{{4x}}{3}\);

Phương pháp giải:

\((H)\) có phương trình chính tắc: \( \dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\).

Lời giải chi tiết:

\(c=10\). Các tiệm cận có phương trình \(y = \pm \dfrac{4}{3}x\), nên \( \dfrac{b}{a} = \dfrac{4}{3}\), suy ra \( \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{{{a^2}}} = \dfrac{{{4^2} + {3^2}}}{3} = \dfrac{{25}}{9}\) hay \( \dfrac{{{{10}^2}}}{{{a^2}}} = \dfrac{{25}}{9}\). Vậy \({a^2} = 36, {b^2} = 64\).

Phương trình của \((H): \dfrac{{{x^2}}}{{36}} - \dfrac{{{y^2}}}{{64}} = 1\).

LG d

\((H)\) đi qua \(N(6 ; 3)\) và góc giữa hai đường tiệm cận bằng \(60^0\).

Phương pháp giải:

\((H)\) có phương trình chính tắc: \( \dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\).

Lời giải chi tiết:

Phương trình các đường tiệm cận là \(y = \pm \dfrac{b}{a}x\). Do góc giữa hai đường tiệm cận là 60⁰ và hai đường tiệm cận đối xứng với nhau qua Ox, nên có hai trường hợp:

- Góc giữa mỗi tiệm cận và trục hoành bằng 30⁰, suy ra \( \dfrac{b}{a} = {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{an}}{30^0} = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\). (1)

- Góc giữa mỗi tiệm cận và trục hoành bằng \(60^0\), suy ra \( \dfrac{b}{a} = \tan {60^0} = \sqrt 3 \). (2)

\(N \in (H) \Rightarrow \dfrac{{36}}{{{a^2}}} - \dfrac{9}{{{b^2}}} = 1\) (3)

Từ (1) và (3) suy ra \({a^2} = 9, {b^2} = 3\). Ta được hypebol \((H_1): \dfrac{{{x^2}}}{9} - \dfrac{{{y^2}}}{3} = 1\).

Từ (2) và (3) suy ra \({a^2} = 33 , {b^2} = 99\). Ta được hypebol \((H_2): \dfrac{{{x^2}}}{{33}} - \dfrac{{{y^2}}}{{99}} = 1\).

Loigiaihay.com