Bài 79 trang 116 SBT Hình học 19 Nâng cao


Giải bài tập Bài 79 trang 116 SBT Hình học 19 Nâng cao

Đề bài

Tìm các điểm trên hypebol \((H): 4{x^2} - {y^2} - 4 = 0\) thỏa mãn

a)  Nhìn hai tiêu điểm dưới góc vuông;

b) Nhìn hai tiêu điểm dưới góc \(120^0;\)

c) Có tọa độ nguyên.

 

Lời giải chi tiết

Viết lại phương trình của \((H):  \dfrac{{{x^2}}}{1} -  \dfrac{{{y^2}}}{4} = 1\).

\({a^2} = 1   \Rightarrow a = 1  , \) \( {b^2} = 4   \Rightarrow   b = 2 ,\) \(  {c^2} = {a^2} + {b^2} = 5   \Rightarrow c = \sqrt 5  ,\) \(  e =  \dfrac{c}{a} = \sqrt 5 \).

\((H)\) có các tiêu điểm : \({F_1}( - \sqrt 5  ; 0) , \) \( {F_2}(\sqrt 5  ; 0)\).

a) Gọi \(M(x ; y)\) là điểm cần tìm. Ta có:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {{F_1}M}  = \left( {x + \sqrt 5  ; y} \right) , \\ \overrightarrow {{F_2}M}  = \left( {x - \sqrt 5  ; y} \right)\\{F_1}M \bot {F_2}M    \Leftrightarrow   \overrightarrow {{F_1}M} .\overrightarrow {{F_2}M}  = 0\\ \Leftrightarrow   \left( {x + \sqrt 5 } \right)\left( {x - \sqrt 5 } \right) + {y^2} = 0  \\  \Leftrightarrow   {x^2} + {y^2} - 5 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\M \in (H)    \Leftrightarrow 4{x^2} - {y^2} - 4 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2) \end{array}\).

Giải hệ (1) và (2) ta được: \(x =  \pm  \dfrac{3}{{\sqrt 5 }} ,  y =  \pm  \dfrac{4}{{\sqrt 5 }}\).

Vậy bốn điểm cần tìm là : \(\left( { \pm  \dfrac{3}{{\sqrt 5 }} ;  \pm  \dfrac{4}{{\sqrt 5 }}} \right)\).

b) Gọi \(N(x ; y)\) là điểm cần tìm.

\(N \in (H)    \Rightarrow |N{F_1} - N{F_2}| = 2a = 2\).

Trong tam giác \(F_1NF_2\), ta có

\(\begin{array}{l}{F_1}{F_2}^2 = {F_1}{N^2} + {F_2}{N^2}\\ - 2.{F_1}N.{F_2}N.\cos \widehat {{F_1}N{F_2}}\\ = {({F_1}N - {F_2}N)^2} + 2.{F_1}N.{F_2}N\\ - 2{F_1}N.{F_2}N.\cos {120^0}\\= 4 + 3{F_1}N.{F_2}N\\ = 4 + 3.|a + ex|.|a - ex|\\= 4 + 3|{a^2} - {e^2}{x^2}|\\ \Rightarrow 4{c^2} = 4 + 3|1 - 5{x^2}|\\ \Leftrightarrow 4.5 = 4 + 3|1 - 5{x^2}|\\ \Leftrightarrow |1 - 5{x^2}| =  \dfrac{{16}}{3} \\    \Leftrightarrow   {x^2} =  \dfrac{{19}}{{15}}   \Leftrightarrow    x =  \pm \sqrt { \dfrac{{19}}{{15}}} \end{array}\)

Thay \(x =  \pm \sqrt { \dfrac{{19}}{{15}}} \) vào phương trình của (H), ta được \(y =  \pm  \dfrac{4}{{\sqrt {15} }}\).

Vậy có bốn điểm cần tìm là: \(\left( { \pm \sqrt { \dfrac{{19}}{{15}}}  ;  \pm  \dfrac{4}{{\sqrt {15} }}} \right)\).

c) Do \((H)\) nhận \(Ox, Oy\) là các trục đối xứng, nên ta chỉ xét những điểm \((x ; y)\) của \((H)\) mà : \(x. y\) nguyên, \(x \ge 0 ,  y \ge 0\), rồi sau đó ta tìm những điểm đối xứng với những điểm này qua trục \(Ox\) và \(Oy.\)

Ta có

\(4{x^2} - {y^2} - 4 = 0 \)

\(    \Leftrightarrow   (2x - y)(2x + y) = 4\)   (1).

Do \(2x-y,  2x+y\) nguyên, \(2x + y \ge 0\) và \(2x + y \ge 2x - y\), nên từ (1)  ta có các trường hợp :

\(\left\{ \begin{array}{l}2x - y = 1\\2x + y = 4\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)    , \\    \left\{ \begin{array}{l}2x - y = 2\\2x + y = 2\end{array} \right. \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3)\)

Hệ (2) không có nghiệm nguyên, hệ (3) có một nghiệm nguyên là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 0\end{array} \right.\).

Vậy những điểm trên \((H)\) có tọa độ nguyên là : \((1 ; 0), (-1 ; 0).\)

Loigiaihay.com

 

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Các bài liên quan: - Bài 6. Đường hypebol.

>> Học trực tuyến Lớp 11 năm học mới trên Tuyensinh247.com, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu


Gửi bài