Bài 78 trang 115 SBT Hình học 10 Nâng cao

Giải bài tập Bài 78 trang 115 SBT Hình học 10 Nâng cao

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

LG a
LG b

Cho hai điểm \(A(-1 ; 0), B(1 ; 0)\) và đường thẳng \(\Delta : x - \dfrac{1}{4} = 0\).

LG a

Tìm tập hợp các điểm \(M\) sao cho \(MB=2MH,\) với \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(M\) trên\(\Delta \).

Lời giải chi tiết:

Xét \(M(x ; y).\) Ta có

\(\begin{array}{l}MB = 2MH \Leftrightarrow M{B^2} = 4M{H^2} \\ \Leftrightarrow {(x - 1)^2} + {y^2} = 4{\left( {x - \dfrac{1}{4}} \right)^2}\\\Leftrightarrow 3{x^2} - {y^2} = \dfrac{3}{4} \\ \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2}}}{{ \dfrac{1}{4}}} - \dfrac{{{y^2}}}{{ \dfrac{3}{4}}} = 1.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\end{array}\)

Tập hợp các điểm \(M\) cần tìm là hypebol có phương trình (1).

LG b

Tìm tập hợp các điểm \(N\) sao cho các đường thẳng \(AN\) và \(BN\) có tích các hệ số góc bằng \(2.\)

Lời giải chi tiết:

Xét \(N(x ; y)\) thì \(\overrightarrow {AN} = (x + 1 ; y), \overrightarrow {BN} = (x - 1 ; y)\). Rõ ràng \(x \ne - 1\) và \(x \ne 1\) (vì nếu không thì các đường thẳng \(AN\) và \(BN\) lần lượt có hệ số góc \({k_1} = \dfrac{y}{{x + 1}}, {k_2} = \dfrac{y}{{x - 1}}\).

Khi đó :

\({k_1}.{k_2} = 2 \Leftrightarrow \dfrac{y}{{x + 1}}. \dfrac{y}{{x - 1}} = 2\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{{y^2}}}{{{x^2} - 1}} = 2 \Leftrightarrow {y^2} = 2{x^2} - 2 \)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2}}}{1} - \dfrac{{{y^2}}}{2} = 1 \) (2)

Tập hợp các điểm \(N\) cần tìm là hypebol có phương trình (2) bỏ đi hai đỉnh : \((-1 ; 0)\) và \((1 ; 0).\)

Loigiaihay.com