Bài 25 Trang 162 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao


Tính các tích phân sau :

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Tính các tích phân sau :

LG a

\(\int\limits_0^{{\pi  \over 4}} {x\cos 2xdx;} \)

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp từng phần \(\left\{ \matrix{
u = x \hfill \cr 
dv = \cos 2xdx \hfill \cr} \right.\)

Lời giải chi tiết:

Đặt 

\(\left\{ \matrix{
u = x \hfill \cr 
dv = \cos 2xdx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = dx \hfill \cr 
v = {1 \over 2}\sin 2x \hfill \cr} \right.\)

Do đó \(\int\limits_0^{{\pi  \over 4}} {x\cos 2xdx }\) \(= \left. {{1 \over 2}x\sin 2x} \right|_0^{{\pi  \over 4}}  - {1 \over 2}\int\limits_0^{{\pi  \over 4}} {\sin 2xdx} \) 

\( = {\pi  \over 8} + \left. {{1 \over 4}\cos 2x} \right|_0^{{\pi  \over 4}} \) \(= {\pi  \over 8} + {1 \over 4}\left( { - 1} \right) = {\pi  \over 8} - {1 \over 4}.\)   

LG b

\(\int\limits_0^1 {{{\ln \left( {2 - x} \right)} \over {2 - x}}} dx;\)

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp đổi biến \(u = \ln \left( {2 - x} \right) \)

Lời giải chi tiết:

Đặt \(u = \ln \left( {2 - x} \right) \Rightarrow du = {{ - 1} \over {2 - x}}dx\)

\(\int\limits_0^1 {{{\ln \left( {2 - x} \right)} \over {2 - x}}} dx =  - \int\limits_{\ln 2}^0 {udu}  = \int\limits_0^{\ln 2} {udu}\) \(  = \left. {{{{u^2}} \over 2}} \right|_0^{\ln 2} = {1 \over 2}{\left( {\ln 2} \right)^2}\)

LG c

\(\int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {{x^2}\cos xdx;} \)

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp từng phần \(\left\{ \matrix{
u = {x^2} \hfill \cr 
dv = \cos xdx \hfill \cr} \right.\)

Lời giải chi tiết:

Đặt 

\(\left\{ \matrix{
u = {x^2} \hfill \cr 
dv = \cos xdx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = 2xdx \hfill \cr 
v = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} \hfill \cr} \right.\)

Do đó \(I = \int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {{x^2}\cos xdx }\) \( = {x^2} \left. {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \right|_0^{{\pi  \over 2}}- 2\int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {x\sin xdx }\) \(= {{{\pi ^2}} \over 4}  - 2{I_1}\)

Với \({I_1} = \int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {x\sin xdx} \)

Đặt 

\(\left\{ \matrix{
u = x \hfill \cr 
dv = \sin {\rm{x}}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = dx \hfill \cr 
v = - \cos x \hfill \cr} \right.\)

Do đó \({I_1} =  - x\left. {\cos x} \right|_0^{{\pi  \over 2}} + \int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {\cos xdx}\)

\( =  - \frac{\pi }{2}\cos \frac{\pi }{2} + 0\cos 0 + \left. {\sin x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} \) \(= 0 + \sin \frac{\pi }{2} - \sin 0 = 1\)

Vậy \(I = {{{\pi ^2}} \over 4} - 2\)

LG d

\(\int\limits_0^1 {{x^2}\sqrt {{x^3} + 1} dx;} \)

Phương pháp giải:

Đổi biến \(u = \sqrt {{x^3} + 1}\)

Lời giải chi tiết:

Đặt \(u = \sqrt {{x^3} + 1}  \Rightarrow {u^2} = {x^3} + 1 \) \(\Rightarrow 2udu = 3{x^2}dx \Rightarrow {x^2}dx = {2 \over 3}udu\)

\(\int\limits_0^1 {{x^2}\sqrt {{x^3} + 1} dx}  = {2 \over 3}\int\limits_1^{\sqrt 2 } {{u^2}du = \left. {{{2{u^3}} \over 9}} \right|} _1^{\sqrt 2 } \) \(= {2 \over 9}\left( {2\sqrt 2  - 1} \right)\)

LG e

\(\int\limits_1^e {{x^2}\ln xdx.} \)   

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp từng phần \(\left\{ \matrix{
u = \ln x \hfill \cr 
dv = {x^2}dx \hfill \cr} \right. \)

Lời giải chi tiết:

Đặt 

\(\left\{ \matrix{
u = \ln x \hfill \cr 
dv = {x^2}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = {{dx} \over x} \hfill \cr 
v = {{{x^3}} \over 3} \hfill \cr} \right.\)

Do đó \(\int\limits_1^e {{x^2}\ln xdx = \left. {{{{x^3}} \over 3}\ln x} \right|} _1^e - {1 \over 3}\int\limits_1^e {{x^2}dx }\) \(= {{{e^3}} \over 3} - \left. {{1 \over 9}{x^3}} \right| _1^e  = \frac{{{e^3}}}{3} - \frac{1}{9}\left( {{e^3} - 1} \right)\) \(= {{2{e^3} + 1} \over 9}\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.7 trên 3 phiếu

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài