Bài 18 Trang 161 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao


Dùng phương pháp tích phân từng phần để tính các tích phân sau:

GÓP Ý HAY - NHẬN NGAY QUÀ CHẤT

Gửi góp ý cho Loigiaihay.com và nhận về những phần quà hấp dẫn

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Dùng phương pháp tích phân từng phần để tính các tích phân sau:

LG a

\(\int\limits_1^2 {{x^5}} \ln xdx;\)

Lời giải chi tiết:

Đặt 

\(\left\{ \matrix{
u = \ln x \hfill \cr 
dv = {x^5}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = {{dx} \over x} \hfill \cr 
v = {{{x^6}} \over 6} \hfill \cr} \right.\)

\(\int\limits_1^2 {{x^5}} \ln xdx = \left. {{{{x^6}} \over 6}\ln x} \right|_1^2 - {1 \over 6}\int\limits_1^2 {{x^5}} dx \) \(= \left. {\left( {{{{x^6}} \over 6}\ln x - {{{x^6}} \over {36}}} \right)} \right|_1^2 \) 

\( = \left( {\dfrac{{64}}{6}\ln 2 - \dfrac{1}{6}\ln 1} \right) - \dfrac{1}{6}.\left. {\dfrac{{{x^6}}}{6}} \right|_1^2\) \( = \dfrac{{32}}{3}\ln 2 - \dfrac{1}{6}\left( {\dfrac{{64}}{6} - \dfrac{1}{6}} \right)\) \( = \dfrac{{32}}{3}\ln 2 - \dfrac{7}{4}\)

LG b

\(\int\limits_0^1 {\left( {x + 1} \right)} {e^x}dx;\)  

Lời giải chi tiết:

Đặt 

\(\left\{ \matrix{
u = x + 1 \hfill \cr 
dv = {e^x}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = dx \hfill \cr 
v = {e^x} \hfill \cr} \right.\)

\(\int\limits_0^1 {\left( {x + 1} \right)} {e^x}dx \) \(= \left. {\left( {x + 1} \right){e^x}} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {{e^x}dx } \) \( = 2e - 1 - \left. {{e^x}} \right|_0^1\) \( = 2e - 1 - \left( {e - 1} \right) = e\)

LG c

\(\int\limits_0^\pi  {{e^x}} \cos xdx;\)

Lời giải chi tiết:

Đặt \(I = \int\limits_0^\pi  {{e^x}\cos xdx} \)

Đặt

\(\left\{ \matrix{
u = {e^x} \hfill \cr 
dv = \cos xdx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = {e^x}dx \hfill \cr 
v = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} \hfill \cr} \right.\)

Suy ra \(I = \left. {{e^x}{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \right|_0^\pi  - \int\limits_0^\pi  {{e^x}\sin {\rm{x}}dx}  \) \( = {e^\pi }\sin \pi  - {e^0}\sin 0 - \int\limits_0^\pi  {{e^x}\sin xdx} \) \( = 0 - \int\limits_0^\pi  {{e^x}\sin xdx} \) \(=  - \int\limits_0^\pi  {{e^x}\sin {\rm{x}}dx} \) 

Đặt 

\(\left\{ \matrix{
u = {e^x} \hfill \cr 
dv = \sin {\rm{x}}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = {e^x}dx \hfill \cr 
v = - \cos x \hfill \cr} \right.\)

Do đó \(I =  - \left[ {\left. {\left( { - {e^x}\cos x} \right)} \right|_0^\pi  + \int\limits_0^\pi  {{e^x}\cos xdx} } \right] \) \(= {e^\pi }\cos \pi  - {e^0}.\cos 0 - I\)

\( \Rightarrow 2I =  - {e^\pi } - 1 \Rightarrow I =  - {1 \over 2}\left( {{e^\pi } + 1} \right)\)

LG d

\(\int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {x\cos xdx.} \)

Lời giải chi tiết:

Đặt 

\(\left\{ \matrix{
u = x \hfill \cr 
dv = \cos xdx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = dx \hfill \cr 
v = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} \hfill \cr} \right.\)

Do đó \(\int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {x\cos xdx }\) 

\( = \left. {x\sin x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} - \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin xdx} \) \( = \frac{\pi }{2}\sin \frac{\pi }{2} - 0 + \left. {\cos x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}}\) \( = \frac{\pi }{2} + \cos \frac{\pi }{2} - \cos 0 = \frac{\pi }{2} - 1\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.4 trên 5 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí