Bài 18 Trang 161 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao


Dùng phương pháp tích phân từng phần để tính các tích phân sau:

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Dùng phương pháp tích phân từng phần để tính các tích phân sau:

LG a

\(\int\limits_1^2 {{x^5}} \ln xdx;\)

Lời giải chi tiết:

Đặt 

\(\left\{ \matrix{
u = \ln x \hfill \cr 
dv = {x^5}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = {{dx} \over x} \hfill \cr 
v = {{{x^6}} \over 6} \hfill \cr} \right.\)

\(\int\limits_1^2 {{x^5}} \ln xdx = \left. {{{{x^6}} \over 6}\ln x} \right|_1^2 - {1 \over 6}\int\limits_1^2 {{x^5}} dx \) \(= \left. {\left( {{{{x^6}} \over 6}\ln x - {{{x^6}} \over {36}}} \right)} \right|_1^2 \) 

\( = \left( {\dfrac{{64}}{6}\ln 2 - \dfrac{1}{6}\ln 1} \right) - \dfrac{1}{6}.\left. {\dfrac{{{x^6}}}{6}} \right|_1^2\) \( = \dfrac{{32}}{3}\ln 2 - \dfrac{1}{6}\left( {\dfrac{{64}}{6} - \dfrac{1}{6}} \right)\) \( = \dfrac{{32}}{3}\ln 2 - \dfrac{7}{4}\)

LG b

\(\int\limits_0^1 {\left( {x + 1} \right)} {e^x}dx;\)  

Lời giải chi tiết:

Đặt 

\(\left\{ \matrix{
u = x + 1 \hfill \cr 
dv = {e^x}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = dx \hfill \cr 
v = {e^x} \hfill \cr} \right.\)

\(\int\limits_0^1 {\left( {x + 1} \right)} {e^x}dx \) \(= \left. {\left( {x + 1} \right){e^x}} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {{e^x}dx } \) \( = 2e - 1 - \left. {{e^x}} \right|_0^1\) \( = 2e - 1 - \left( {e - 1} \right) = e\)

LG c

\(\int\limits_0^\pi  {{e^x}} \cos xdx;\)

Lời giải chi tiết:

Đặt \(I = \int\limits_0^\pi  {{e^x}\cos xdx} \)

Đặt

\(\left\{ \matrix{
u = {e^x} \hfill \cr 
dv = \cos xdx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = {e^x}dx \hfill \cr 
v = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} \hfill \cr} \right.\)

Suy ra \(I = \left. {{e^x}{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \right|_0^\pi  - \int\limits_0^\pi  {{e^x}\sin {\rm{x}}dx}  \) \( = {e^\pi }\sin \pi  - {e^0}\sin 0 - \int\limits_0^\pi  {{e^x}\sin xdx} \) \( = 0 - \int\limits_0^\pi  {{e^x}\sin xdx} \) \(=  - \int\limits_0^\pi  {{e^x}\sin {\rm{x}}dx} \) 

Đặt 

\(\left\{ \matrix{
u = {e^x} \hfill \cr 
dv = \sin {\rm{x}}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = {e^x}dx \hfill \cr 
v = - \cos x \hfill \cr} \right.\)

Do đó \(I =  - \left[ {\left. {\left( { - {e^x}\cos x} \right)} \right|_0^\pi  + \int\limits_0^\pi  {{e^x}\cos xdx} } \right] \) \(= {e^\pi }\cos \pi  - {e^0}.\cos 0 - I\)

\( \Rightarrow 2I =  - {e^\pi } - 1 \Rightarrow I =  - {1 \over 2}\left( {{e^\pi } + 1} \right)\)

LG d

\(\int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {x\cos xdx.} \)

Lời giải chi tiết:

Đặt 

\(\left\{ \matrix{
u = x \hfill \cr 
dv = \cos xdx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = dx \hfill \cr 
v = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} \hfill \cr} \right.\)

Do đó \(\int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {x\cos xdx }\) 

\( = \left. {x\sin x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} - \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin xdx} \) \( = \frac{\pi }{2}\sin \frac{\pi }{2} - 0 + \left. {\cos x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}}\) \( = \frac{\pi }{2} + \cos \frac{\pi }{2} - \cos 0 = \frac{\pi }{2} - 1\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4 trên 3 phiếu

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài