Bài 8 trang 111 SGK Hình học 12 Nâng cao

Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt có phương trình: và . a) Chứng minh rằng (P) và (Q) cắt nhau. Tìm góc giữa hai mặt phẳng đó. b) Viết phương trình đường thẳng d đi qua , song song với cả (P) và (Q). c) Viết phương trình mp(R) đi qua , vuông góc với cả (P) và (Q).

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt có phương trình:
\(\left( P \right):2x - y + z + 2 = 0\) và \(\left( Q \right):x + y + 2z - 1 = 0\).

LG a

Chứng minh rằng (P) và (Q) cắt nhau. Tìm góc giữa hai mặt phẳng đó.

Lời giải chi tiết:

Hai mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt có các vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2; - 1;1} \right)\) và \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1;1;2} \right)\).

Vì \(\frac{2}{1} \ne \frac{{ - 1}}{1} \ne \frac{1}{2}\) nên hai vectơ đó không cùng phương nên (P) và (Q) cắt nhau.
Gọi \(\varphi\) là góc giữa hai mặt phẳng đó thì:
\(\cos \varphi = {{\left| {\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_Q}} } \right|} \over {\left| {\overrightarrow {{n_P}} } \right|\left| {\overrightarrow {{n_Q}} } \right|}} = {{\left| {2 - 1 + 2} \right|} \over {\sqrt 6 .\sqrt 6 }} = {1 \over 2}\).
Vậy \(\varphi = {60^0}.\)

LG b

Viết phương trình đường thẳng d đi qua \(A\left( {1;2; - 3} \right)\), song song với cả (P) và (Q).

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng d song song với cả (P) và (Q) nên d có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u \) vuông góc với cả \(\overrightarrow {{n_P}} \) và \(\overrightarrow {{n_Q}} \).

Vì \(\left[ {\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = \left( { - 3; - 3;3} \right)\) nên ta có thể lấy \(\overrightarrow u = \left( {1;1; - 1} \right)\).
Ngoài ra điểm \(A\left( {1;2; - 3} \right)\) không nằm trên cả (P) và (Q) nên đường thẳng d cần tìm có phương trình: \({{x - 1} \over 1} = {{y - 2} \over 1} = {{z + 3} \over { - 1}}\).

LG c

Viết phương trình mp(R) đi qua \(B\left( { - 1;3;4} \right)\), vuông góc với cả (P) và (Q).

Lời giải chi tiết:

\(\left( R \right) \bot \left( P \right)\,\,;\,\,\left( R \right) \bot \left( Q \right)\)

Suy ra (R) đi qua \(B\left( { - 1;3;4} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow u = \left( {1;1; - 1} \right)\) nên (R) có phương trình: \(x + 1 + y - 3 - \left( {z - 4} \right) = 0 \) \(\Leftrightarrow x + y - z + 2 = 0.\)

Loigiaihay.com

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

3.6 trên 5 phiếu

Bài tiếp theo

Bài 9 trang 111 SGK Hình học 12 Nâng cao
Cho mặt cầu (S) có phương trình a) Tìm tọa độ tâm mặt cầu và bán kính mặt cầu. b) Tùy theo giá trị k, xét vị trí tương đối của mặt cầu (S) và mp(P): . c) Mặt cầu cắt ba trục Ox, Oy, Oz tại ba điểm A, B, C khác gốc tọa độ O. Viết phương trình mp(ABC). d) Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm B. e) Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) và song song với mặt phẳng (Q) có phương trình
Bài 10 trang 111 SGK Hình học 12 Nâng cao
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1. Trên các tia AA’, AB, AD (có chung gốc A) lần lượt lấy các điểm M, N, P khác A sao cho AM = m, AN = n và AP = p. a) Tìm sự liên hệ giữa m, n và p sao cho mp(MNP) đi qua đỉnh của hình lập phương. b) Trong trường hợp mp(MNP) luôn đi qua C’, hãy tìm thể tích bé nhất của tứ diện AMNP. Khi đó tứ diện AMNP có tính chất gì?
Bài 7 trang 111 SGK Hình học 12 Nâng cao
Cho hai đường thẳng và a) Chứng minh rằng d và d’ chéo nhau và vuông góc với nhau. b) Viết phương trình mp(P) đi qua d và vuông góc với d’, phương trình mp(Q) đi qua d’ và vuông góc với d. c) Viết phương trình chính tắc của đường vuông góc chung của d và d’.
Bài 6 trang 110 SGK Hình học 12 Nâng cao
Cho hai đường thẳng và . a) Chứng minh rằng d và d’ đồng phẳng. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa chúng. b) Tính thể tích hình tứ diện giới hạn bởi mp(P) và ba mặt phẳng tọa độ. c) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện nói trên.
Bài 5 trang 110 SGK Hình học 12 Nâng cao
Cho hai đường thẳng: và . a) Chứng minh hai đường thẳng đó chéo nhau. Tìm góc giữa chúng. b) Tìm khoảng cách giữa d và d’. c) Viết phương trình đường thẳng vuông góc chung của d và d’. d) Viết phương trình đường thẳng song song với Oz, cắt cả d và d’.
Bài 4 trang 110 SGK Hình học 12 Nâng cao
Cho điểm A(2; 3; 1) và hai đường thẳng: a) Viết phương trình mp(P) đi qua A và . b) Viết phương trình mp(Q) đi qua A và . c) Viết phương trình đường thẳng d đi qua A cắt cả và . d) Tính khoảng cách từ A đến .
Bài 3 trang 109 SGK Hình học 12 Nâng cao
Cho đường thẳng d và mp(P) có phương trình: . a) Viết phương trình đường thẳng d’ là hình chiếu vuông góc của d trên mp(P) b) Viết phương trình đường thẳng là hình chiếu song song của d trên mp(P) theo phương Oz. c) Viết phương trình đường thẳng đi qua gốc tọa độ O, cắt d và song song với mp(P).
Bài 2 trang 109 SGK Hình học 12 Nâng cao
Cho hai điểm và mặt phẳng (P): . a) Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua mp(P). b) Tìm góc giữa đường thẳng AB và mp(P). c) Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A, B và vuông góc với mp(P). d) Tìm tọa độ giao điểm I của đường thẳng AB và mp(P). Viết phương trình đường thẳng nằm trong (P), đi qua I và vuông góc với AB.
Bài 1 trang 109 SGK Hình học 12 Nâng cao
Cho bốn điểm . a) Chứng minh rằng bốn điểm đó không đồng phẳng. b) Tính thể tích tứ diện ABCD. c) Viết phương trình mp(BCD). d) Viết phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với mp(BCD). Tìm tọa độ tiếp điểm.
Bài 8 trang 109 SGK Hình học 12 Nâng cao
Giải bài 8 trang 109 SGK Hình học 12 Nâng cao. Trong các trường hợp sau, làm thế nào để xác định được tọa độ của điểm...
Bài 7 trang 109 SGK Hình học 12 Nâng cao
Giải bài 7 trang 109 SGK Hình học 12 Nâng cao. Bằng phương pháp tọa độ, làm thế nào để tính khoảng cách:...
Bài 6 trang 108 SGK Hình học 12 Nâng cao
Giải bài 6 trang 108 SGK Hình học 12 Nâng cao. Bằng phương pháp tọa độ, làm thế nào để xác định được vị trí tương đối...
Bài 5 trang 108 SGK Hình học 12 Nâng cao
Giải bài 5 trang 108 SGK Hình học 12 Nâng cao. Trong những trường hợp sau, làm thế nào để viết phương trình đường thẳng:...
Bài 4 trang 108 SGK Hình học 12 Nâng cao
Giải bài 4 trang 108 SGK Hình học 12 Nâng cao. Trong mỗi trường hợp sau, hãy nêu cách viết phương trình mặt phẳng:...
Bài 3 trang 108 SGK Hình học 12 Nâng cao
Giải bài 3 trang 108 SGK Hình học 12 Nâng cao. Bằng phương pháp tọa độ, làm thế nào để chứng minh:...
Bài 2 trang 107 SGK Hình học 12 Nâng cao
Giải bài 2 trang 107 sách giáo khoa Hình học 12 Nâng cao. Cho tọa độ bốn đỉnh của một hình tứ diện, làm thế nào để tìm:...
Bài 1 trang 107 SGK Hình học 12 Nâng cao
Giải bài 1 trang 107 sách giáo khoa Hình học 12 Nâng cao. Cho biết tọa độ hai điểm A, B. Làm thế nào để tìm:...