Bài 4 trang 8 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao


Với các giá trị nào của a hàm số nghịch biến trên R

Đề bài

Với các giá trị nào của a hàm số \(y = ax - {x^3}\) nghịch biến trên \(\mathbb R\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Tìm y'.

- Hàm số nghịch biến trên R khi và chỉ khi y'\(\le 0\) với mọi x.

Chú ý: Sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai:

\(a{x^2} + bx + c \le 0\left( {a \ne 0} \right),\forall x \in R\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a < 0\\
\Delta \le 0
\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết

Cách 1:

Tập xác định \(D=\mathbb R\)

\(y' = a - 3{x^2}\)

Hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) \( \Leftrightarrow y' \le 0,\forall x \in \mathbb{R}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow  - 3{x^2} + a \le 0,\forall x \in \mathbb{R}\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3 < 0\\\Delta  = {0^2} - 4.\left( { - 3} \right).a \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow 12a \le 0\\ \Leftrightarrow a \le 0\end{array}\)

Cách 2. Hàm số nghịch biến trên R, điều kiện y'≤0,∀x ∈R,y'=0 chỉ tại một số hữu hạn điểm.

Ta có: y'≤0 ⇔ a-3x2≤0, ∀x

⇔ 3x2 ≥ a, ∀x ∈R

⇔ a≤min(3x2 ), mà 3x2≥0 ∀x ∈R

Nên \(\mathop {\min }\limits_\mathbb{R} \left( {3{x^2}} \right) = 0\). Vậy \(a \le 0\).

Kết luận: với a≤0 thì y=ax-3x3 nghịch biến trên R.

Cách 3:

Tập xác định \(D=\mathbb R\)

\(y' = a - 3{x^2}\)

• Nếu \(a < 0\) thì \(y' < 0\) với mọi \(x \in {\mathbb R}\), khi đó hàm số nghịch biến trên \(\mathbb R\).

• Nếu \(a = 0\) thì \(y' =  - 3{x^2} \le 0\) với mọi \(x \in {\mathbb R}\), \(y'=0\Leftrightarrow x=0\).

Vậy hàm số nghịch biến trên \(\mathbb R\).

• Nếu \(a > 0\) thì \(y' = 0\) \( \Leftrightarrow x =  \pm {\sqrt {a  \over 3}}\)

Ta có bảng biến thiên

Trong trường hợp này, hàm số không đồng biến trên  \({\mathbb R}\)

Vậy hàm số nghịch biến trên \({\mathbb R}\) khi và chỉ khi \(a \le 0\).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.5 trên 11 phiếu

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài