
Đề bài
Với các giá trị nào của a hàm số \(y = ax - {x^3}\) nghịch biến trên \(\mathbb R\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Tìm y'.
- Hàm số nghịch biến trên R khi và chỉ khi y'\(\le 0\) với mọi x.
Chú ý: Sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai:
\(a{x^2} + bx + c \le 0\left( {a \ne 0} \right),\forall x \in R\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a < 0\\
\Delta \le 0
\end{array} \right.\)
Lời giải chi tiết
Cách 1:
Tập xác định \(D=\mathbb R\)
\(y' = a - 3{x^2}\)
Hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) \( \Leftrightarrow y' \le 0,\forall x \in \mathbb{R}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow - 3{x^2} + a \le 0,\forall x \in \mathbb{R}\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3 < 0\\\Delta = {0^2} - 4.\left( { - 3} \right).a \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow 12a \le 0\\ \Leftrightarrow a \le 0\end{array}\)
Cách 2. Hàm số nghịch biến trên R, điều kiện y'≤0,∀x ∈R,y'=0 chỉ tại một số hữu hạn điểm.
Ta có: y'≤0 ⇔ a-3x2≤0, ∀x
⇔ 3x2 ≥ a, ∀x ∈R
⇔ a≤min(3x2 ), mà 3x2≥0 ∀x ∈R
Nên \(\mathop {\min }\limits_\mathbb{R} \left( {3{x^2}} \right) = 0\). Vậy \(a \le 0\).
Kết luận: với a≤0 thì y=ax-3x3 nghịch biến trên R.
Cách 3:
Tập xác định \(D=\mathbb R\)
\(y' = a - 3{x^2}\)
• Nếu \(a < 0\) thì \(y' < 0\) với mọi \(x \in {\mathbb R}\), khi đó hàm số nghịch biến trên \(\mathbb R\).
• Nếu \(a = 0\) thì \(y' = - 3{x^2} \le 0\) với mọi \(x \in {\mathbb R}\), \(y'=0\Leftrightarrow x=0\).
Vậy hàm số nghịch biến trên \(\mathbb R\).
• Nếu \(a > 0\) thì \(y' = 0\) \( \Leftrightarrow x = \pm {\sqrt {a \over 3}}\)
Ta có bảng biến thiên
Trong trường hợp này, hàm số không đồng biến trên \({\mathbb R}\)
Vậy hàm số nghịch biến trên \({\mathbb R}\) khi và chỉ khi \(a \le 0\).
Loigiaihay.com
Tìm các giá trị của tham số a để hàm số đồng biến trên R
Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:
Chứng minh rằng hàm số nghịch biến trên R
Chứng minh các bất đẳng thức sau:
Hướng dẫn: Chứng minh hàm số đồng biến trên nửa khoảng
Tính tốc độ tăng dân số vào năm 1990 và năm 2008 của thị trấn. Vào năm nào thì tốc độ gia tăng dân số là 0,125 nghìn người/năm?
Chứng minh rằng các hàm số sau đây đồng biến trên R:
Chứng minh rằng: a) Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó; b)Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:
>> Xem thêm
Cảm ơn bạn đã sử dụng Loigiaihay.com. Đội ngũ giáo viên cần cải thiện điều gì để bạn cho bài viết này 5* vậy?
Vui lòng để lại thông tin để ad có thể liên hệ với em nhé!
Họ và tên:
Email / SĐT: