Bài 3 trang 8 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao


Chứng minh rằng các hàm số sau đây đồng biến trên R:

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Chứng minh rằng các hàm số sau đây đồng biến trên \(\mathbb R\):

LG a

\(f\left( x \right) = {x^3} - 6{x^2} + 17x + 4;\)

Phương pháp giải:

Tính y' và chứng minh \(y'\ge 0\) với mọi x.

Lời giải chi tiết:

Tập xác định: \(D =\mathbb R\)

\(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 12x + 17 > 0\) với mọi \(x \in \mathbb R\) (vì \(a > 0\) và \(\Delta ' =6^2-3.17=-15 < 0\))

Hàm số đồng biến trên \(\mathbb R\).

Chú ý:

Có thể biến đổi f'(x) như sau:

\(\begin{array}{l}
f'\left( x \right) = 3{x^2} - 12x + 17\\
= 3\left( {{x^2} - 4x + 4} \right) + 5\\
= 3{\left( {x - 2} \right)^2} + 5 > 0,\forall x
\end{array}\)

LG b

\(f\left( x \right) = {x^3} + x - \cos x - 4\)

Lời giải chi tiết:

Tập xác định: \(D =\mathbb R\)

\(f'\left( x \right) = 3{x^2} + 1 + \sin x\)

Vì \(- 1 \le \sin x \le 1 \Rightarrow 1 + \sin x \ge 0\) và \(3{x^2} \ge 0\) nên \(f'\left( x \right) \ge 0\) với mọi \(x \in \mathbb R\)

Với \(x = 0\) thì \(1 + \sin x = 1 > 0\) nên \(f'\left( x \right) > 0\,\,\,\forall x \in \mathbb R\)

Do đó hàm số đồng biến trên \(\mathbb R\).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.9 trên 8 phiếu

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài